Fouriertransformierte graphisch darstellen

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24.04.2016, 13:47	Laale	Auf diesen Beitrag antworten »
Fouriertransformierte graphisch darstellen Meine Frage: Hallo, da ich schon einmal sehr gute Hilfe hier bekommen habe, wende ich mich wieder an euch. Fourierreihen habe ich nun verstanden, jetzt geht es um die Fouriertransformierte. Die Funktion f(t)= $\begin{eqnarray} e^{-ax} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x\geq 0 \end{eqnarray}$ für x<0 ist die Funktion 0. a>0. Meine Ideen: Für die Fouriertransformierte gilt: $\begin{eqnarray} F(w)\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty }^{+\infty } \! f(x) \, \cdot e^{-iwx} dx \end{eqnarray}$ (Das w soll ein Omega darstellen) Ich habe das Integral aufgeteilt: $\begin{eqnarray} \frac{1}{2\pi} ( \int_{-\infty }^{0 } \! f(x) \, \cdot e^{-iwx} dx + \int_{0 }^{\infty} \! f(x) \, \cdot e^{-iwx} dx) \end{eqnarray}$ Da das erste Integral 0 ist, bleibt das zweite übrig. Dies fasse ich weiter zusammen: $\begin{eqnarray} \frac{1}{2\pi} \int_{0 }^{\infty} \! e^{(-a-iw)t} \,dx \end{eqnarray}$ Es ergibt sich: $\begin{eqnarray} \frac{1}{2\pi}\left[\frac{1}{-a-iw}\cdot e^{(-a-iw)t} \right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{2\pi}\frac{-1}{-a-iw}= \frac{1}{2\pi}\frac{1}{a+iw} \end{eqnarray}$ Mein Problem ist, dass diese Funktion nun gezeichnet werden soll. Leider weiß ich nicht wie. Meine Idee war, das ganze zu einem Sinus zu machen wegen des i im Nenner, jedoch weiß ich nicht wie genau. Für Anregungen bin ich dankabr.
24.04.2016, 14:12	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fouriertransformierte graphisch darstellen Zerlege die Funktion in Betrag und Phase und stelle beides getrennt über w dar. Viele Grüße Steffen
24.04.2016, 14:22	Laale	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fouriertransformierte graphisch darstellen Du meinst mein Endergebnis von F(w),oder? Also in einem Diagramm mit Realteil auf der x-Achse und imaginär auf y-Achse? Ich stehe total auf'm Schlauch
24.04.2016, 15:53	Laale	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe das Ergebnis durch komplex Konjugieren nun so umgeformt: $\begin{eqnarray} \frac{1}{2\pi}(\frac{a}{a^{2}+w^{2}}-i(\frac{w}{a^{2}+w^{2}}))= \frac{a}{2\pi a^{2}+2\pi w^{2}}- i \cdot \frac{w}{2\pi a^{2}+2\pi w^{2}} \end{eqnarray}$ Damit kann ich den Betrag bilden, indem ich dies rechne: $\begin{eqnarray} \sqrt{(\frac{a}{2\pi a^{2}+2\pi w^{2}})^{2}+ (\frac{-w}{2\pi a^{2}+2\pi w^{2}})^{2}} \end{eqnarray}$ Frage: Ist das - , welches vor dem i stand richtig reingezogen worden? Die Phase bekomme ich durch: $\begin{eqnarray} \phi=arctan\frac{a}{2\pi a^{2}+2\pi w^{2}} \cdot \frac{2\pi a^{2}+2\pi w^{2}}{-w}= arctan(\frac{a}{-w}) \end{eqnarray}$ Ist dies soweit richtig? Liebe Grüße
24.04.2016, 15:54	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fouriertransformierte graphisch darstellen Nein, mit w auf der x-Achse und \|F(w)\| bzw. arg(F(w)) auf der y-Achse. Edit: Da haben wir uns überschnitten. Was ist b? Edit2: Ah, nun ist es a. Gut, der Betrag stimmt, bei der Phase gilt tan(phi)=im/re.
24.04.2016, 16:02	Laale	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fouriertransformierte graphisch darstellen Hatte mich versehen. Die b sollten a heißen Ist korrigiert. Edit: Also muss ich den arctan gar nicht nutzen, um den Winkel zu bekommen, sondern stoppe einen Schritt vorher und lass es einfach beim Tangens?
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24.04.2016, 16:09	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fouriertransformierte graphisch darstellen Nein, den Winkel musst Du schon durch den Arkustangens berechnen. Nur hast Du re und im vertauscht. Außerdem musst Du bei re=0 bzw. re<0 aufpassen.
24.04.2016, 16:17	Laale	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fouriertransformierte graphisch darstellen Normalerweise wird ja Re durch Im dividiert. Also hätte ich einen Doppelbruch, sodass ich einfach nur mit dem Kehrwert multipliziert habe. Genau, da muss dann ein Pi addiert/subtrahiert werden. Edit: Hast Recht. Im durch Re müsste es sein.
24.04.2016, 16:25	Laale	Auf diesen Beitrag antworten »
Dies dürfte nun richtig sein: $\begin{eqnarray} \Phi= arctan(\frac{-w}{2\pi a^{2}+2\pi w^{2}} \cdot \frac{2\pi a^{2}+2\pi w^{2}}{a}) =arctan(\frac{-w}{a} \end{eqnarray}$
24.04.2016, 16:34	Laale	Auf diesen Beitrag antworten »
Also muss ich nun nur noch den Betrag und die Phase in Abhängigkeit von w in ein Koordinatensystem bringen. Was ich gerechnet habe, kann ich nachvollziehen. Aber ich habe dann doch in dem Koordinatensystem zwei Graphen: einmal den vom Betrag und einmal den mit der Phase. Und das soll \|F(w)\| anschaulich sein? Vor allem wie bringe ich die in ein KS, wenn die beiden Ergebnisse für jeweils das gleiche x Welten auseinander liegen?
24.04.2016, 16:34	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Prima, und a ist ja nach Definition positiv, dann passt alles. Typischerweise zeichnet man nun Betrags- und Phasenspektrum untereinander. Wenn Du x und y jeweils logarithmisch skalierst, ergibt sich das sogenannte Bode-Diagramm. Eine weitere Möglichkeit ist die Ortskurve, da lässt Du w hochlaufen und trägst die sich ergebenden Zahlen in die komplexe Ebene ein. Schau mal bei Wiki: https://de.m.wikipedia.org/wiki/Bode-Diagramm
24.04.2016, 16:39	Laale	Auf diesen Beitrag antworten »
Super! Vielen lieben Dank! Nun kann ich endlich wieder unbesorgt schlafen

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