Funktionenschar

24.04.2016, 15:33

gast112

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Funktionenschar

Meine Frage:
Ich hab folgende Aufgabe zu lösen: fa(X)=a^2x^3-6ax^2+9x
jetzt soll ich den Hochpunkt für den Graphen Ka bestimmen und für K1 und K2.
zudem soll ich die Gleichung der Ortskurve bestimmen, durch die alle Hochpunkte gehen.

Meine Ideen:
Für den Hochpunkt muss ich ja die Ableitung bilden. dabei hab ich raus: fá(x)=2a^2x^2-12ax+9 stimnmt das?
nun muss ich es null setzen und dann komm ich nicht mehr weiter.

Bei der Anderen AUfgabe hab ich überhaupt keine Idee.

24.04.2016, 15:38

Bürgi

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RE: Funktionenschar
Guten Tag,

Deine Ableitung ist falsch: Der konstante Faktor von $\begin{eqnarray*} a^2 x^2 \end{eqnarray*}$ stimmt nicht.

Für uns ist von Interesse, was Du bis jetzt mit der Gleichung

$\begin{eqnarray*} 3a^2 x^2-12ax+9=0 \end{eqnarray*}$

gemacht hast.

24.04.2016, 17:49

skatie123

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RE: Funktionenschar
ich hab damit noch nichts gemacht. ich könnte aber jetzt doch durch drei teilen und dann pq-Formel anwenden, oder versteh ich das völlig falsch?

24.04.2016, 17:50

skatie123

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RE: Funktionenschar
dann hätte ich $\begin{eqnarray*} a^2x^2-4ax+3 \end{eqnarray*}$

24.04.2016, 17:53

adiutor62

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RE: Funktionenschar
Du musst durch 3a^2 teilen, damit du die pq-Formel anwenden kannst.
Der Faktor vor x^2 muss weg.

24.04.2016, 17:57

Helferlein

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Vielleicht sucht er auch nur eine Lösung für ax Engel

Engel

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24.04.2016, 18:01

skatie123

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ich suche ja den hochpunkt. und dafür muss ich uja die erste ableitung null setzen, die nullstellen bestimmen, gucken welche nullstelle in der zweiten ableitung kleiner null ist und um den y-wert zu ermitteln in die grundfunktion einsetzen.
nur wie gehe ich jetzt vor?
für mich sind zwei unbekannte in einer gleichung völlig neu

24.04.2016, 18:05

skatie123

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wenn ich also durch 3a^2 teile dann erhalt ich ja $\begin{eqnarray*} x^2-(12ax/3a^2)+(9/3a^2)=0 \end{eqnarray*}$

24.04.2016, 18:24

adiutor62

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Jetzt noch kürzen, dann einsetzen in die Formel.

p=...
q=...

24.04.2016, 18:32

skatie123

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wäre dann ja gekürzt: $\begin{eqnarray*} x^2-4*(a^(1/2))*x+3/a^2 \end{eqnarray*}$
jetzt stimmts

24.04.2016, 18:35

adiutor62

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Es sollte lauten: - (4/a)*x

24.04.2016, 18:36

skatie123

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also ich meine mit a^1/2 die wurzel aus a, das scheint er nicht richtig anzuzeigen
p= -4*(a^(1/2))*x
q= 3/a^2

24.04.2016, 18:38

skatie123

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aber wenn ich a mit a^2 kürze dann ist es doch wurzel a oder?

24.04.2016, 18:40

adiutor62

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Nein.

a/a^2= 1/a

24.04.2016, 18:45

skatie123

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gut dann setze ich es in die pq-formel ein: x1,2= (4/a)*x +- ((- (4/a)*x)^2 - 3/a^2 )^0,5
jetzt hab ich nur das problem wie ich aus den zwei variablen eine raus bekomme

24.04.2016, 18:53

adiutor62

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p=-4/a

q=3/a^2

x1/2= -4/2a+-((-4/2a)^2-3/a^2))^0.5

Kürze: -4/2a = -2/a

Fasse unter der Wurzel zusammen. Hauptnenner bilden.

24.04.2016, 19:04

skatie123

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um den hauptnenner zu erhalten muss ich mal 1/a rechnen um einen gemeinsamen nenner von 1/a^2 zu bekommen oder? und wenn ich dann die wurzel zusammenfasse, dann kommt ja (-5/a^2)^1/2.
wenn ich nun noch den teil vor der klammer dazu nehme, dann hab ich ja x1= -2/a^2 + (-5/a^2)^1/2 und x2= -2/a^2 -(-5/a^2)^1/2

24.04.2016, 19:10

adiutor62

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Unter der Wurzel:

4/a^2-3/a^2=1/a^2

Daraus die Wurzel ergibt: 1/a

vor der Wurzel steht: 2/a

--->x1/2= ...

24.04.2016, 19:26

skatie123

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x1= 1/a
x2= 3/a
und wenn ich das jetzt in die ausgangsgleichung einsetzte dann habe ich die y werte

24.04.2016, 19:30

adiutor62

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Stimmt.

Freude

War doch eigentlich gar nicht schwer im Nachhinein betrachtet. smile

smile

24.04.2016, 19:39

skatie123

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und wie bestimm ich jetzt noch die ortsgleichung für alle hochpunkte?
geschockt

geschockt

24.04.2016, 19:39

skatie123

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auf jeden fall schon mal danke für die hilfe bei der ersten auifgabe Wink

Wink

Augenzwinkern

24.04.2016, 19:46

skatie123

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bei der ortsgleichung muss ich ja ne gerade haben, die durch alle hochpunkte geht oder? ich hatte das noch nie und konnte mir das nur durch herleiten über Veranschaulichen bei geogebra. mir wurde eine gerade ausgeben, die lautet: f(x)=4x

24.04.2016, 20:31

Bürgi

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Guten Abend,

aus den Koordinaten des Hochpunktes ergeben sich zwei Gleichungen:

$\begin{eqnarray*} x = \frac1a~\text{und}~y= ... \end{eqnarray*}$

Berechne aus der ersten Gleichung den Term für a = ...

und setze diesen Term bei y = ... ein

Fertig!

24.04.2016, 20:50

skatie123

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uff, ehrlich weiß ich gar nicht was du meinst. wenn ich dich aber recht verstehe, dann ist der term für $\begin{eqnarray*} x=1/a \end{eqnarray*}$ die nullstelle, wenn ich das nach a umstelle, dann kommt da $\begin{eqnarray*} a=1/x \end{eqnarray*}$ raus. beim term für y komm ich auf $\begin{eqnarray*} f(x)=a^2*(1/a)^3-6a*(1/a)^2+9*(1/a) \end{eqnarray*}$ . wenn ich nun noch einsetze, dann komm ich auf $\begin{eqnarray*} f(x)=(1/x)^2*(1/(1/x))^3-6(1/x)*(1/(1/x))^2+9(1/(1/x)) \end{eqnarray*}$

24.04.2016, 20:54

Bürgi

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Hallo,

wenn Du $\begin{eqnarray*} f\left(\frac1a \right) \end{eqnarray*}$ zusammenfasst, kommt ein sehr schlichter Term für den Funktionswert heraus. Den brauchst Du.

24.04.2016, 20:56

skatie123

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hab ich falsch zusammengefasst? ichn hab den anfangsterm genommen und da a=1/x eingesetzt. wo liegt der fehler? verwirrt

verwirrt

24.04.2016, 21:00

skatie123

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ist es dann wenn ich $\begin{eqnarray*} a=1/x \end{eqnarray*}$ einsetzte: $\begin{eqnarray*} f(x)=(1/x)^2*x^3-6*(1/x)*x^2+9x \end{eqnarray*}$

24.04.2016, 21:03

Bürgi

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Hallo,

Du hast keinen Fehler geacht, sondern hast nicht zu Ende gerechnet:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f(x)=a^2*(1/a)^3-6a*(1/a)^2+9*(1/a) \end{eqnarray*}$

heißt eigentlich:

$\begin{eqnarray*} f\left(\frac1a \right)=a^2 \cdot \frac1{a^3}-6a \cdot \frac1{a^2}+9 \cdot \frac1a \end{eqnarray*}$

Du kannst jetzt diese Summe berechnen.

24.04.2016, 21:05

skatie123

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soll man nach a auflösen oder nach x, ist das ein unterschied?

24.04.2016, 21:06

Bürgi

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Hallo,

in der Gleichung in meiner letzten Nachricht ist überhaupt kein x vorhanden!
Du sollst die rechte Seite der Gleichung zusammenfassen.

24.04.2016, 21:29

skatie123

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ich steh so aufm schlauch, weil mein schädel total brummt, dass ich grad nicht weiß wie ichs machen soll. traurig

traurig

also a^2*1/a^3 ergibt dann a^-1 ?

24.04.2016, 21:32

Bürgi

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Hallo,

der Anfang ist richtig! Freude

Freude

Die nächsten beiden Summanden ebenfalls vereinfachen und dann die ganze rechte Seite zusammenfassen.

24.04.2016, 21:34

skatie123

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dann ist es ja $\begin{eqnarray*} a^-1-6*a^-1+9/a \end{eqnarray*}$

24.04.2016, 21:38

skatie123

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wenn ich das dann zusammenfasse, dann erhatl ich: $\begin{eqnarray*} f(x)= -5a^-1+9/a \end{eqnarray*}$
das kann ich ja noch umschreiben: $\begin{eqnarray*} f(x)= -5/a+9/a \end{eqnarray*}$ was dann ja $\begin{eqnarray*} f(x)=4/a \end{eqnarray*}$ ergibt

24.04.2016, 21:48

Bürgi

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Hallo,

super. Geht doch! Freude

Freude

Du weißt, dass alle Hochpunkte die Koordinaten $\begin{eqnarray*} H\left(\frac1a \ ;\ \frac4a \right) \end{eqnarray*}$ haben.

Daraus folgt $\begin{eqnarray*} x = \frac1a~\text{und}~y= \frac4a \end{eqnarray*}$

Aus x das a berechnen und bei y einsetzen, ergibt:

$\begin{eqnarray*} y = \frac{4}{\frac1x} = 4x \end{eqnarray*}$

und das ist die Gleichung der Ortskurve aller Hochpunkte.
[attach]41427[/attach]

24.04.2016, 22:00

skatie123

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sehr vielen dank. Wink

Wink

Engel

8/

24.04.2016, 22:09

Bürgi

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gern geschehen - und bis zum nächsten Mal!

Gute Nacht! Wink

Wink

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