Ebene senkrecht auf Gerade

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coorooo Auf diesen Beitrag antworten »
Ebene senkrecht auf Gerade
Meine Frage:
Hallo erst mal smile

Ich bin neu hier und würde mich sehr freuen, wenn ihr mir helfen könntet (vorab: ich bin kein Genie in Mathe, tut mir leid Big Laugh ). Und zwar geht es um das bekannte Problem, dass eine Ebene senkrecht auf einer Geraden stehen soll.

Unsere erste Aufgabe war, dass wir eine Gerade g: und den Punkt P(5/-3/4) gegeben haben. P liegt auf g.

Daraus sollten wir dann eine Gleichung für die Ebene aufstellen, die P enthält und senkrecht auf g steht.

Das Ergebnis war E:

Wie wir darauf gekommen sind, ist mir soweit klar. Da P in E enthalten sein soll, einfach den Ortsvektor zum Punkt P als hinführenden Vektor der Ebene nehmen und zum Richtungsvektor von g einfach zwei Vektoren suchen, die senkrecht auf dem Richtungsvektor von g stehen. Das sind dann die Richtungsvektoren der Ebene.

Nun ist als zweite Aufgabe dieselbe Gerade g gegeben und ein Punkt Q(15/7/24), der nicht auf g liegt. Jetzt sollen wir eine Gleichung für die Ebene E aufstellen, die Q enthält und ebenfalls senkrecht auf g steht.

Meine Ideen:
Kann ich jetzt im Prinzip genau das gleiche machen wie beim ersten Teil, nur, dass der hinführende Vektor der Ebene der Ortsvektor zum Punkt Q ist und nicht der Ortsvektor zum Punkt P? Und dann dieselben Richtungsvektoren? Oder gibt es einen Unterschied, ob ein Punkt auf der Gerade g liegt oder nicht? Wenn nein, warum schreibt man dann extra, ob der Punkt auf g liegt oder nicht?

Danke schon mal im Voraus! smile

Liebe Grüße,
Coorooo
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Bei der Grundaufgabe: Ebene normal zu einer Geraden g durch einen Punkt P ist es unerheblich, ob der Punkt auf der Geraden liegt oder nicht, der Rechenvorgang bleibt derselbe.

Allerdings ist es eher umständlich, danach noch zwei (linear unabhängige) Normalvektoren zu dem Richtungsvektor der Geraden zu finden.
Besser ist es, du gehst von der Normalvektorform der Ebene



ist gleich dem Richtungsvektor der Geraden.

In deinem ersten Beispiel wäre dies dann







mY+
Bürgi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ebene senkrecht auf Gerade
Guten Abend
und Willkommen

Deine Überlegungen sind völlig richtig.

Die Vektoren spannen eine Ebene auf, die senkrecht zu ist. Durch die Angabe eines festen Punktes wird eine Parallelverschiebung der Ebene vorgenommen, so dass dann der gegebene Punkt in der Ebene liegt.

Bei der ersten Aufgabe handelt es sich um einen Sonderfall: Gegeben ist der Schnittpunkt von Gerade und Ebene.


EDIT: ... und weg. Wink
coorooo Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo ihr zwei smile


Vielen lieben Dank für eure Antworten und auch eure Hilfe, ich hab das mit der Normalenform nochmal nachgerechnet und bin zu dem selben Ergebnis gekommen. Was ich noch fragen wollte: Gibt es einen Grund, weswegen ich die Normalenform benutzen sollte und nicht die Parameterform?
Ich hab's generell jetzt verstanden, dankeschön nochmal. smile

Liebe Grüße,
Coorooo smile
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Normalform und Parameterform sind gleichwertig. Es kommt in der Folge darauf an, was weiter mit der Ebenengleichung geschehen soll (analog mit der Geradengleichung in R2).
In einigen Fällen kann die Normalvektorform günstiger sein, wie eben auch hier, denn man muss dann NICHT erst zwei Normalvektoren für die Parameterform konstruieren.
Auch beim Schnitt von Ebenen mit Geraden erweist sich die Normalform sicher als die günstigere.

mY+
coorooo Auf diesen Beitrag antworten »

@mYthos

Das klingt einleuchtend. Werd ich mir merken, je nach dem, was in der Aufgabenstellung gefragt ist. Vielen lieben Dank noch einmal und einen schönen Tag noch,

coorooo smile
 
 
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