Beschränktes Wachstum, k bestimmen

24.04.2016, 22:48

OlliSte

Beschränktes Wachstum, k bestimmen

Meine Frage:
Moin,
wir haben im Mathe-LK 2 verschiedene Herleitungen zu einer Formel erarbeitet und verstehen nicht, warum wir für k unterschiedliche Ergebnisse erhalten haben.

Sachzusammenhang:
Bier ist 7° kalt.
Raumtemperatur: 19°
Nach dem Herausnehmen(90 min.) aus dem Kühlschrank ist das Bier 15° warm
Das Bier kühlt pro Minute 10% der nohc vorhandenen Temperaturdifferenz zur Kühlschranktemperatur ab.

Frage: Wie lange muss das Bier in den Kühlschrank, um wieder auf 8° zu kommen?

Meine Ideen:
1. Lösung:
T(0)=15
Tu=7
Es gilt: T'(x)=7+8*e^-0,1x
T(x)=7+(15-7)*e^0,1x= 7+8*e^-0,1x

T(t)= 7+8*e^-0,1x

2. Lösung
T(t)=c*a^x
T(t)=8*e^ln(0,9)x +7
=> Berechnung von einem Startwert von 8 der gegen 0 konvergiert, und dann mit +7 auf die 15° Anfangstemperatur geschoben, sodass diese Kurve ebenfalls gegen 7° konvergiert.

ln(9)= -0,10536

Jetzt ist die Frage, warum einmal k=-0,1 und einmal k=-0,10536 ist...

25.04.2016, 02:28

mYthos

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Die prozentuelle Änderungsrate gehört NICHT in den Exponenten.
Der dort stehende Faktor $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ist ein Proportionalitätsfaktor, welcher nicht direkt die Änderungsrate in Prozent angibt.
Deswegen wird bei p = 10% der Betrag von k niemals 0,1 sein
Je nach Zu- oder Abnahmefunktion ist (bei p%)

$\begin{eqnarray*} e^k = 1 \pm \frac p {100} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k = \ln (1 \pm \frac p {100}) \end{eqnarray*}$

Einer Abnahme von 10% entspricht somit $\begin{eqnarray*} k = \ln 0,9 = -0,1054 \end{eqnarray*}$ , also ist nur die 2. Lösung richtig.

mY+

25.04.2016, 07:36

OlliSte2

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Vielen Dank,
kannst du mir eventuell erklären was der Ansatz im ersten Lösungsversuch war? Das hab ich im Unterricht noch nicht ganz verstanden, auch wenn das eh Falsch ist- wäre klasse wenn du mir das erklären könntest. Was ist dasfür eine Funktion bei:Es gilt?

Die volle Idee war:
T(0)=15
Tu=7

Es gilt:
T'(t)= 0,1*(7-T(t)) mit der Lösung
T(t) = 7+ (15-7)*e^-0,1t = 7+8*e^-0,1t

25.04.2016, 21:00

mYthos

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Was zu befürchten war, ist eingetreten, der Aufgabentext birgt eine Falle, die man leicht überlesen kann:

Zitat:

Original von OlliSte
...
Das Bier kühlt pro Minute 10% der noch vorhandenen Temperaturdifferenz zur Kühlschranktemperatur ab.
...

Daher sieht hier die Sachlage anders aus.
Die angegebene Differentialgleichung könnte stimmen und dort tatsächlich der Proportionalitäsfaktor |k| = 0,1 sein

Darin sehen wir, dass der Abnahmekoeffizient (ähnlich der Zerfallskonstanten) - im Gegensatz, wie es bei der Wachstums- oder Zerfallfunktion der Fall ist -
als Prozentsatz erhalten bleibt und daher genau 0.10 beträgt.

Ich habe leider im Moment sehr wenig Zeit und werde noch später auf dieses Problem zurückkommen.

Dass man sich hinsichtlich der Interpretation der Änderungsrate (WORAUF sie Bezug hat!) arg verrennen und dies auch sehr verwirrend sein kann, zeigt der Thread

--> Temperaturabnahme

Lies dies bitte einmal genau durch und gegebenenfalls auch diese hier:

--> Beschränkte Abnahme

--> Temperaturabnahme (Butter und Margarine im Kühlschrank)

Danach (morgen) können wir deine Aufgabe noch abklären, falls nötig.
Ich kann auch das seinerzeit erstellte Excel-File gerne anpassen und zur Verfügung stellen.

mY+

25.04.2016, 23:42

OlliSte2

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Vielen Dank nochmal,
in den anderen Threads habe ich mich eingelesen, jedoch nur so halb verstanden ...
Der Unterschied der beiden Funktionen liegt hier dran:

"Die rekursive Formel liefert nur Ergebnisse in diskreten Schritten.
Zur Beschreibung des kontinuierlichen Vorganges ist die Differentialgleichung"

Lässt sich das so auch auf meine Aufgabe übertragen? Und wenn ja, was genau ist der Unterschied?

Besten Dank,

Olli

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Viele Grüße
Steffen

29.04.2016, 15:53

mYthos

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So, jetzt habe ich Zeit gefunden, mich näher mit diesem Problem zu befassen.
Das gleiche Problem wurde übrigens auch schon in dem Thread

--> Temperaturabnahme (Butter und Margarine im Kühlschrank)

diskutiert.

Zunächst ist dies tatsächlich so richtig:

Zitat:

Die volle Idee war:
T(0)=15
Tu=7

Es gilt:
T'(t)= 0,1*(7-T(t)) mit der Lösung
T(t) = 7+ (15-7)*e^-0,1t = 7+8*e^-0,1t

Dies stimmt deswegen so, weil die (negative) Temperaturänderung mit dem Faktor 0.1 proportional zum Sättigungsmanko* ist.
Ich schreibe die Diffgl. nur ein wenig um und setze zunächst allgemein:

$\begin{eqnarray*} f'(t) = -k(f(t)-S) \end{eqnarray*}$ .. S (unterer) Temperatur-Grenzwert,

(*) $\begin{eqnarray*} f(t) - S \end{eqnarray*}$ ist das sogenannte Sättigungsmanko, der Faktor $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ soll positiv bleiben, in der Funktionsgleichung bekommt er dann ein Minus, wie wir sehen werden.

Da nun die Angabe exakt

Zitat:

Das Bier kühlt pro Minute 10% der noch vorhandenen Temperaturdifferenz zur Kühlschranktemperatur ab

lautet, ist hier (in der DiffGl) $\begin{eqnarray*} k=0.1 \end{eqnarray*}$ , die Abkühlung wird dort dann im Weiteren mit einem negativen Vorzeichen gekennzeichnet.

Die Lösung der DiffGl. geschieht mittels Trennung der Variablen

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd f}{f(t) - S} = -k \dd t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ln (f(t) - S) = -kt + c_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(t) - S = c e^{-kt} \quad [ e^{c_1} = c ] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(t) = S + c e^{-kt} \end{eqnarray*}$

In unserem Beispiel setzen wir f(0) = 15, S = 7, k = 0.1 (10%), damit kommt

$\begin{eqnarray*} 15 = 7 + c \ \to \ c = 8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(t) = 7 + 8 e^{-0.1t} \end{eqnarray*}$

Nun wurde eine Excel-Tabelle erstellt, in der die Temperaturwerte pro Minute zuerst mittels dieser exakten Funktion und danach in diskreten Schritten mit 2 verschiedenen Faktoren (k) berechnet wurden.

[attach]41505[/attach]

Die richtigen Temperaturwerte pro Minute wurden in der Spalte 'T diskr richtig' mittels der Rekursion

$\begin{eqnarray*} f(t_n) = f(t_{n-1}) + [f(t_{n-1}) - S] \cdot (1 - e^{-k}) \end{eqnarray*}$ erzeugt, im Beispiel ist dies dann
$\begin{eqnarray*} f(t_n) = f(t_{n-1}) + [f(t_{n-1}) - 7] \cdot 0.09516 \quad [ k=0.1] \end{eqnarray*}$

Eine falsche Reihe, wenn auch nur mit marginalen Unterschieden (aber sie bestehen!), ist in der Spalte 'T diskr falsch' zu sehen, sie wurde mittels

$\begin{eqnarray*} f(t_n) = f(t_{n-1}) + [f(t_{n-1}) - 7] \cdot 0.01 \end{eqnarray*}$ erstellt.

Wir sehen also, in der stetigen Funktion (-> kontinuierliche Änderung) ist $\begin{eqnarray*} k = 0.1 \end{eqnarray*}$ der Proportionalitätsfaktor, in der Rekursion jedoch der Faktor $\begin{eqnarray*} 1 - e^{-0.1} = 0.09516 \end{eqnarray*}$ .

Was nun deine Version 2 betrifft, dort rechnest du mit $\begin{eqnarray*} a = 0.9 \end{eqnarray*}$
Wie aber in der Tabelle ersichtlich ist, ist bei den richtigen Temperaturwerten der Minutenquotient rd. $\begin{eqnarray*} 0.9050 (0.90484) \end{eqnarray*}$ , welcher dem Faktor $\begin{eqnarray*} 0.09516 \end{eqnarray*}$ entspricht, wie er auch schon in der richtigen Reihe der diskreten Rekursion verwendet worden ist.
Bemerkung: In der Exceltabelle sind die Versionen 1 und 2 vertauscht.

mY+

29.04.2016, 17:16

Dopap

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beachte, dass 6° "pro" Minute ein Geschwindigkeitsmaß ist, eben ein Differenzialquotient ( Ableitung ).

Wenn jemand 60 km "pro" Stunde in der Ortschaft fährt, dann fährt er nicht unbedingt 60 km weit.

Das "pro" ist der Knackpunkt. Besser und korrekt ist "durch".

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