Konvergenzgeschwindigkeit Reihe

25.04.2016, 10:29	matze(2)	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzgeschwindigkeit Reihe Hallo, gilt $\begin{eqnarray} \frac{\pi^2}{6} - \sum_{j=1}^N \frac{1}{j^2} \leq \frac{2}{N} \end{eqnarray}$ für alle großen $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ ? Und falls ja, wie zeigt man das? Gibt es dazu soetwas wie eine Therie über die Konvergenzgeschwindigkeit konvergenter Reihen, oder so? Vielen lieben Dank
25.04.2016, 10:32	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzgeschwindigkeit Reihe Sieht in etwa richtig aus. Benutze, dass $\begin{eqnarray} \sum_{j = N+1}^\infty \frac 1 {j^2} \leq \int_N^\infty \frac 1 {x^2} dx \end{eqnarray}$ ist.
25.04.2016, 11:14	matze(2)	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzgeschwindigkeit Reihe Super, vielen Dank! Hatte sogar selbst schon die Idee mit dem Integral über 1/x^2, aber wollte die Summe bis N nach unten abschätzen.
25.04.2016, 11:34	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Alternativ geht auch die Teleskopreihenabschätzung $\begin{align} \frac{\pi^2}{6} - \sum_{j=1}^N \frac{1}{j^2} = \sum_{j=N+1}^{\infty} \frac{1}{j^2} < \sum_{j=N+1}^{\infty} \frac{1}{j(j-1)} = \frac{1}{N} \end{align}$ . Nach der anderen Seite ergibt das auch eine Abschätzung für den Mindestfehler $\begin{align} \frac{\pi^2}{6} - \sum_{j=1}^N \frac{1}{j^2} > \sum_{j=N+1}^{\infty} \frac{1}{j(j+1)} = \frac{1}{N+1} \end{align}$ , was natürlich ebenfalls mit der Integralabschätzung so möglich ist.
25.04.2016, 12:01	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wo wir dabei sind: Mit Cauchy's Verdichtungssatz ist ebenfalls $\begin{eqnarray} \sum_{j = N+1}^\infty \frac 1 {j^2} \leq \sum_{k =0}^\infty 2^k \cdot \frac 1 { (N + 2^k)^2} =\sum_{k =0}^\infty \frac 1 { \frac { N } { 2^k} + 2N + 2^k}\leq \sum_{k = 0 }^\infty \frac 1 { 2N + 2^k} \leq\sum_{k = \lfloor \log_{2}(2N) \rfloor }^\infty \frac 1 { 2^k} \end{eqnarray}$ . Zugegeben kam es mir leichter vor, bevor ich angefangen habe es runterzuschreiben -- dennoch bin ich zuversichtlich eine gute Abschätzung zu bekommen
25.04.2016, 13:50	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Na wenn wir gerade so schön am abschätzen sind: Eine deutlich genauere Abschätzung nach oben als $\begin{align} \frac{1}{N} \end{align}$ bekommt man durch $\begin{align} \frac{\pi^2}{6} - \sum_{j=1}^N \frac{1}{j^2} < \sum_{j=N+1}^{\infty} \frac{1}{j^2-\frac{1}{4}} = \frac{1}{N+\frac{1}{2}} = \frac{2}{2N+1} \end{align}$ . Wenn man es noch "feiner" haben will, muss man wohl Euler-Maclaurin o.ä. auffahren.
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