Integral cos(x)/x

25.04.2016, 19:57

amateurphysiker_

Integral cos(x)/x

Hi,

es geht um die Aufgabe 2.2d im Anhang. Nach rumprobieren bin ich nicht weiter gekommen und nach diversen Internetquellen existiert das Integral von cos(x)/x nicht. Wie kann ich die Aufgabe dann korrekt "beantworten"?

Danke!

25.04.2016, 22:07

grosserloewe

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RE: Integral cos(x)/x
Wink

Berechnung, indem Du cos(x) als Reihe aufschreibst (steht in jedem Tafelwerk)
Nach kurzer Rechnung ist das Ergebnis 0.

Mit den "üblichen" Methoden kannst Du dieses Integral nicht berechnen ,
da nicht geschlossen integrierbar.

26.04.2016, 00:40

URL

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RE: Integral cos(x)/x
Der Integrand ist eine ungerade Funktion. Man muss sich also nur noch Gedanken über die Existenz des uneigentlichen Integrals machen.

26.04.2016, 10:37

HAL 9000

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Zitat:

Original von amateurphysiker_
nach diversen Internetquellen existiert das Integral von cos(x)/x nicht

Genau lesen: Da steht nicht cos(x)/x, sondern (cos(x)-1)/x, ein entscheidender Unterschied.

Zitat:

Original von URL
Man muss sich also nur noch Gedanken über die Existenz des uneigentlichen Integrals machen.

Mit einer passenden stetigen Ergänzung des Integranden im Punkt x=0 ist es sogar ein ganz normales Riemann-Integral. Und da die Funktionswertänderung an einem einzigen Punkt den Integralwert nicht ändert...

26.04.2016, 17:18

amateurphysiker_

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Danke für die Antworten!

Zitat:

Original von grosserloewe
Berechnung, indem Du cos(x) als Reihe aufschreibst (steht in jedem Tafelwerk)
Nach kurzer Rechnung ist das Ergebnis 0.

Hmm, also die Reihendarstellung des Cos ist ja: $\begin{eqnarray*} cos(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty } (-1)^n \frac{x^{2n} }{(2n)!} \end{eqnarray*}$ . Dementsprechend ist $\begin{eqnarray*} \frac{cos(x)}{x} =\frac{1}{x} \sum\limits_{n=0}^{\infty } (-1)^n \frac{x^{2n} }{(2n)!} \end{eqnarray*}$ . Wie integriert man denn solche Ausdrücke?

Zitat:

Original von URL
Der Integrand ist eine ungerade Funktion. Man muss sich also nur noch Gedanken über die Existenz des uneigentlichen Integrals machen.

Wie ist der Zusammenhang zwischen ungerader Funktion und uneigentlichem Integral?

Zitat:

Original von HAL 9000
Genau lesen: Da steht nicht cos(x)/x, sondern (cos(x)-1)/x, ein entscheidender Unterschied.

Das habe ich schon gesehen, aber ich kann sie doch separat betrachten und integrieren oder? 1/x integriert ist ja ln x und ist daher "unproblematisch".

Zitat:

Original von HAL 9000
Mit einer passenden stetigen Ergänzung des Integranden im Punkt x=0 ist es sogar ein ganz normales Riemann-Integral. Und da die Funktionswertänderung an einem einzigen Punkt den Integralwert nicht ändert...

Was bedeutet stetige Ergänzung und wie gehe ich dazu vor? Mir leuchtet nicht ein wie ich dann integriere, da ich ja zuvor mit keiner der bekannten Methoden dagegen angekommen bin..

Danke!

26.04.2016, 17:53

HAL 9000

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Zitat:

Original von amateurphysiker_

Zitat:

Original von HAL 9000
Genau lesen: Da steht nicht cos(x)/x, sondern (cos(x)-1)/x, ein entscheidender Unterschied.

Das habe ich schon gesehen, aber ich kann sie doch separat betrachten und integrieren oder? 1/x integriert ist ja ln x und ist daher "unproblematisch".

Soso, unproblematisch - auch wenn die 0 mitten im Integrationsgebiet liegt, wie hier im vorliegenden Fall???

Ich plotte mal beide Integranden im hier relevanten Intervall [-1,1], vielleicht änderst du dann deine Meinung:

Zur Erinnerung:

$\begin{align*} \int\limits_a^b (f(x)+g(x)) ~ \dd x = \int\limits_a^b f(x) ~ \dd x ~+~ \int\limits_a^b g(x) ~ \dd x\qquad (*) \end{align*}$

ist nur dann richtig, wenn die beiden Integrale rechts existieren! Mit deiner Aufteilung $\begin{align*} f(x)=\frac{\cos(x)}{x} \end{align*}$ und $\begin{align*} g(x)=-\frac{1}{x} \end{align*}$ existieren beide im Fall a=-1,b=1 nicht, und damit ist (*) so nicht anwendbar. unglücklich

26.04.2016, 18:10

amateurphysiker_

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Ah ok danke, alles klar! Und wie muss ich bei der stetigen Ergänzung vorgehen?

26.04.2016, 18:16

HAL 9000

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Berechne dazu $\begin{align*} \lim_{x\to 0} \frac{\cos(x)-1}{x} \end{align*}$ . Der Graph oben deutet ja zart an, was rauskommt. Augenzwinkern

Zitat:

Original von amateurphysiker_
Wie ist der Zusammenhang zwischen ungerader Funktion und uneigentlichem Integral?

Darum geht es nicht. Es geht um das Integral einer ungeraden Funktion $\begin{align*} u(x) \end{align*}$ über ein zur 0 symmetrisches Integral $\begin{align*} [-a,a] \end{align*}$ .
Ist $\begin{align*} u(x) \end{align*}$ zudem stetig (wenn wir etwa wie von mir vorgeschlagen im Punkt x=0 stetig ergänzen), dann ist die Existenz des Gesamtintegrals gesichert, und wir können rechnen

$\begin{align*} I:=\int\limits_{-a}^a u(x) ~ \dd x = \int\limits_{-a}^0 u(x) ~ \dd x ~+~ \int\limits_0^a u(x) ~ \dd x \end{align*}$ .

Im ersten Integral substituieren wir $\begin{align*} t=-x \end{align*}$ , also $\begin{align*} \dd t = -\dd x \end{align*}$ , und erhalten wegen der Ungeradheit-Eigenschaft $\begin{align*} u(-t)=-u(t) \end{align*}$ dann

$\begin{align*} I = -\int\limits_a^0 u(-t) ~ \dd t ~+~ \int\limits_0^a u(x) ~ \dd x = \int\limits_0^a u(-t) ~ \dd t ~+~ \int\limits_0^a u(x) ~ \dd x = -\int\limits_0^a u(t) ~ \dd t ~+~ \int\limits_0^a u(x) ~ \dd x = 0 \end{align*}$ .

27.04.2016, 00:09

URL

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@HAL: Die Erkenntnis der stetige Fortsetzung für die Existenz des Integrals wollte ich eigentlich unserem amateurphysiker überlassen - wäre aber allem Anschein nach wohl nichts daraus geworden Augenzwinkern

27.04.2016, 09:44

HAL 9000

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Eigentlich war meine ursprüngliche Anmerkung ja nur, dass das "uneigentlich" hier gar nicht nötig ist. Die Erwiderung "1/x integiert ln(x) unproblematisch" hat mich dann doch zu einer längeren Ausführung hinreißen lassen. Augenzwinkern

27.04.2016, 17:08

amateurphysiker_

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Zitat:

Original von HAL 9000
Darum geht es nicht. Es geht um das Integral einer ungeraden Funktion $\begin{align*} u(x) \end{align*}$ über ein zur 0 symmetrisches Integral $\begin{align*} [-a,a] \end{align*}$ .
Ist $\begin{align*} u(x) \end{align*}$ zudem stetig (wenn wir etwa wie von mir vorgeschlagen im Punkt x=0 stetig ergänzen), dann ist die Existenz des Gesamtintegrals gesichert, und wir können rechnen

Was muss ich den bei der stetigen Ergänzung machen?

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{align*} I:=\int\limits_{-a}^a u(x) ~ \dd x = \int\limits_{-a}^0 u(x) ~ \dd x ~+~ \int\limits_0^a u(x) ~ \dd x \end{align*}$ .

Im ersten Integral substituieren wir $\begin{align*} t=-x \end{align*}$ , also $\begin{align*} \dd t = -\dd x \end{align*}$ ,

Wieso ist die Substitution denn nötig? Folgt nicht aus der Ungeradheit direkt, dass
$\begin{eqnarray*} \int\limits_{-a}^0 u(x) ~ \dd x ~=-~ \int\limits_0^a u(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von HAL 9000
und erhalten wegen der Ungeradheit-Eigenschaft $\begin{align*} u(-t)=-u(t) \end{align*}$ dann

$\begin{align*} I = -\int\limits_a^0 u(-t) ~ \dd t ~+~ \int\limits_0^a u(x) ~ \dd x = \int\limits_0^a u(-t) ~ \dd t ~+~ \int\limits_0^a u(x) ~ \dd x = -\int\limits_0^a u(t) ~ \dd t ~+~ \int\limits_0^a u(x) ~ \dd x = 0 \end{align*}$ .

27.04.2016, 17:59

HAL 9000

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Zitat:

Original von amateurphysiker_
Folgt nicht aus der Ungeradheit direkt, dass
$\begin{eqnarray*} \int\limits_{-a}^0 u(x) ~ \dd x ~=-~ \int\limits_0^a u(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$

Erläutere mal, wie dieses "direkt" hier aussieht. Beweis per Akklamation? Augenzwinkern

28.04.2016, 10:52

amateurphysiker_

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Und wie ist das mit der stetigen Ergänzung? Definier ich den Funktionswert des Integranden einfach=0 fuer x=0, da der Grenzwert des Integranden = 0 ist fuer x gegen 0?

28.04.2016, 14:05

HAL 9000

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Das ist eine Möglichkeit, ja. Aber wie ich oben schon erwähnte: Für den Wert des Riemann-Integrals spielt es keine Rolle, wenn man den Funktionswert an einer einzigen Stelle verändert. Nur die Argumentation zur Existenz des Integrals ist leichter, denn für auf einem kompakten Intervall stetige Funktionen gibt es da keine Probleme zu befürchten.

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