Integral

25.04.2016, 20:06	amateurphysiker_	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral Und die letzte Integralaufgabe für heute: A2.2a (siehe Anhang). Ich komme weder mit Substitution noch mit partieller Integration weiter :/ hat mir jemand einen Tip welcher Weg hier funktionieren kann? Danke!
25.04.2016, 21:57	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral Hallo Die Polynomdivision führt zum Ziel. Danach hast du alles einfache Integrale. Lösung zum Vergleich : (rund -0.2)
26.04.2016, 18:06	amateurphysiker_	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, aber mit der PD komm ich hier irgendwie nicht weiter. Da bekomme ich das hier raus (Siehe Anhang): $\begin{eqnarray} -t+\frac{-3t^{2}+t }{-t^{3}+3t^{2}-3t+1 } \end{eqnarray}$ Wie komme ich damit weiter?
26.04.2016, 18:27	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Man macht sich die Sache bei (a) m.E. wesentlich leichter, wenn man gleich zu Anfang die Substitution $\begin{align} t=1-u \end{align}$ durchführt. Dann ist $\begin{align} \dd t = - \dd u \end{align}$ und weiter dann $\begin{align} \int\limits_0^{\frac{1}{2}} \frac{t^4-3t^3}{(1-t)^3} ~ \dd t = \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 \frac{(1-u)^4-3(1-u)^3}{u^3} ~ \dd u = \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 \frac{1-4u+6u^2-4u^3+u^4-3(1-3u+3u^2-u^3)}{u^3} ~ \dd u = \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 \frac{-2+5u-3u^2-u^3+u^4}{u^3} ~ \dd u = \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 \left[ -\frac{2}{u^3} + \frac{5}{u^2}-\frac{3}{u}-1+u \right] ~ \dd u \end{align}$ , alles Potenzfunktionen nun im Integranden und damit leicht handhabbar. De facto ist diese Rechnung da eben auch nur eine verkappte Partialbruchzerlegung, aber doch irgendwie deutlich übersichtlicher.
27.04.2016, 15:23	amateurphysiker_	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ok, alles klar. Wie kommt man auf so was? Einfach ausprobieren? Müssten die Grenzen nach der Substitution dann aber nicht von 1 bis 0,5 gehen, anstatt von 0,5 bis 1, da u=1-t? Edit: Ah das hebt sich auf wegen du=-dt oder? Danke!
27.04.2016, 15:30	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Aufmerksamkeitstest bestanden Gut erkannt. Es ist aber auch $\begin{align} \dd t = -\dd u \end{align}$ , und den einen Zwischenschritt $\begin{align} \int\limits_1^{\frac{1}{2}} \frac{(1-u)^4-3(1-u)^3}{u^3} ~ (-\dd u) \end{align}$ hatte ich weggelassen - Grenzenvertauschung mit dabei fälliger Vorzeichenumkehr des Integralwertes führen dann wieder auf obigen Weg.
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