Gegeben: Kreis und Mittelpunkt, gesucht: Weg X(t)

25.04.2016, 21:15	cmplx96	Auf diesen Beitrag antworten »
Gegeben: Kreis und Mittelpunkt, gesucht: Weg X(t) Guten Abend zusammen, ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter: Gegeben ist ein Kreis mit dem Radius r = 2 und dem Mittelpunkt M = $\begin{eqnarray} (x_{0}, y_{0}) = (3, 4) \end{eqnarray}$ Wie lautet somit der Weg $\begin{eqnarray} \vec{X}(t) \end{eqnarray}$ , wenn man sich im Uhrzeigersinn auf dem Kreis bewegt? Meine Idee: Man nimmt den Kreis als Kraftfeld, wobei ich nicht weiß, wie. Die Kreisgleichung lauetet ja: $\begin{eqnarray} x^{2} + y^{2} = 4 \end{eqnarray}$ , wie kann man das in ein Feld übersetzen? Danke schonmal!
26.04.2016, 19:09	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die von dir angeführte Kreisgleichung gilt nur für den Kreismittelpunkt im Nullpunkt. Da aber hier M(3; 4) ist, würde sie wohl $\begin{eqnarray} (x-3)^2 + (y-4)^2 = 4 \end{eqnarray}$ lauten müssen. Bei der Integration für die Bogenlänge $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ ist die Kurve vorteilhaft in Parameterform gegeben. Dabei ist allgemein $\begin{eqnarray} s = \int _{t_1}^{t_2} \sqrt{\dot x ^2 + \dot y ^2} \ \dd t \end{eqnarray}$ Jetzt brauchst du noch die Parameterform des Kreises $\begin{eqnarray} x = x(t), \ y = y(t) \end{eqnarray}$ $\begin{align} x-3 = 2 \cos t \ \to \ x = 3 + 2 \cos t \end{align}$ $\begin{align} y-4 = 2 \sin t \ \to \ y = 4 + 2 \sin t \end{align}$ Damit kann die Bogenlänge $\begin{eqnarray} s(t_1,t_2) \end{eqnarray}$ leicht berechnet werden, wenn ein Punkt $\begin{eqnarray} X(t) \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} t_1 \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} t_2 \end{eqnarray}$ wandert. mY+
26.04.2016, 20:18	cmplx96	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Antwort! Lautet das Integral dann $\begin{eqnarray} \int_{t_{1}}^{t_{2}} \! \sqrt{(3+2cos(t))^{2} + (4+2sin(t))^{2} } \, dt \end{eqnarray}$ ? Und noch eine andere Frage: Macht es überhaupt einen Unterschied, ob man im oder gegen den Uhrzeigersinn läuft? Höchstens im Vorzeichen oder?
27.04.2016, 15:56	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, so lautet das Integral NICHT, es ist leichter Du hast die Formel nicht genau übernommen, in der Wurzel stehen die Quadrate der Ableitungen von x bzw. y nach t Das ist die Bedeutung des Punktzeichens über dem x bzw. y, es sind die Ableitungen nach den Parameter $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ (!) Deshalb wird unter der Wurzel etwas wesentlich Einfacheres stehen und das Ergebnis auch nicht verwundern [ s = 2(t2 - t1) ] Nimm zur Probe einmal P1(5;4) und P2(3;6), berechne daraus t1 und t2, die Bogenlänge ist dann ein Viertelkreis, macht bei r = 2 genau $\begin{eqnarray} \pi \ E \end{eqnarray}$ Übrigens ist für den Betrag der Bogenlänge der Umlaufsinn ohne Bedeutung. mY+
27.04.2016, 18:39	cmplx96	Auf diesen Beitrag antworten »
alles klar, vielen dank

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