Konvergenzgeschwindigkeit geometrische Reihe

26.04.2016, 14:43	Imladris	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzgeschwindigkeit geometrische Reihe Hallo, ihr Lieben, ich habe versucht die Konvergenzgeschwindigkeit der geometrischen Reihe zu bestimmen und hab erst mal ganz stupide mit dem Ansatz für quadratische Konvergenz angefangen: $\begin{eqnarray} \frac{\left\| \sum_{k=0}^{n+1} q^{k} - \frac{1}{1-q} \right\|}{\left\| \sum_{k=0}^{n} q^{k} - \frac{1}{1-q} \right\|^{2}} = \frac{\left\| \sum_{k=0}^{n} q^{k} - \frac{1}{1-q} + q^{n+1}\right\|}{\left\| \sum_{k=0}^{n} q^{k} - \frac{1}{1-q} \right\|^{2}} \leq \frac{\left\| \sum_{k=0}^{n} q^{k} - \frac{1}{1-q} \right\| + \|q^{n+1}\|}{\left\| \sum_{k=0}^{n} q^{k} - \frac{1}{1-q} \right\|^{2}}\\<br /> = \frac{1 + \frac{\|q^{n+1}\|}{\left\| \sum_{k=0}^{n} q^{k} - \frac{1}{1-q} \right\|}}{\left\| \sum_{k=0}^{n} q^{k} - \frac{1}{1-q} \right\|} = \frac{1 + \frac{\|q^{n+1}\|}{\left\| \sum_{k=n+1}^{\infty}q^{k} \right\|}}{\left\| \sum_{k=n+1}^{\infty}q^{k} \right\|} = \frac{1 + \frac{\|q^{n+1}\|}{\left\| \sum_{m=0}^{\infty} q^{m+n+1} \right\|}}{\left\| \sum_{m=0}^{\infty}q^{m+n+1} \right\|} = \frac{1 + \frac{1}{\left\| \sum_{m=0}^{\infty} q^{m} \right\|}}{\left\| q^{n+1} \frac{1}{1-q} \right\|}\\ = \frac{(1 + \frac{1}{\left\| \frac{1}{1-q} \right\|})\|1-q\|}{\left\| q^{n+1}\right\|} = \frac{\|1-q\| \cdot \|1-q\|^{2}}{\|q^{n+1}\|} \rightarrow 0 \end{eqnarray}$ so, aber so recht glücklich bin ich damit nicht. Zum einen weil wikipedia sagt, es muss $\begin{eqnarray} \leq c \end{eqnarray}$ sein, wobei c>0 ist! Da komme ich schon mal nicht hin, ich komme ja genau auf Null. Was sagt mir das also? Anschaulich hätte ich gesagt, dass der Zähler Deutlich schneller konvergiert als der nenner. Ich habe es aber auch mal mit p=3 versucht also $\begin{eqnarray} \frac{\left\| \sum_{k=0}^{n+1} q^{k} - \frac{1}{1-q} \right\|}{\left\| \sum_{k=0}^{n} q^{k} - \frac{1}{1-q} \right\|^{3}} \end{eqnarray}$ , aber da geht es dann noch viel rasanter gegen Null. Ich bin mir gerade unsicher, ob ich das mit der Konvergenz irgendwie völlig falsch in den Hals bekommen habe. Habe ich oben irgendsoeinen Deppenfehler gemacht? Danke schon mal!
26.04.2016, 14:49	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: konvergenzgeschwindigkeit geometrische Reihe Die Frage ist nur sinnvoll, wenn $\begin{eqnarray} \|q\| < 1 \end{eqnarray}$ . Aber wenn das der Fall ist, so divergiert $\begin{eqnarray} \frac 1 {\|q\|^n} \to \infty \end{eqnarray}$ wenn $\begin{eqnarray} n \to \infty \end{eqnarray}$ . Einfacher wäre es $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n q^k - \frac 1 {1 - q} \end{eqnarray}$ auszurechnen. Immerhin hat man für die linke Summe eine explizite Darstellung.
26.04.2016, 15:02	Imladris	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: konvergenzgeschwindigkeit geometrische Reihe ah danke^^ Deppenfehler gefunden dass \|q\|<1 ist habe ich einfach mal vorausgesetzt, aber mich am Schluss noch daran zu erinnern...^^ Danke dir!
26.04.2016, 15:44	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
@Imladris Ich weiß nicht, wie du auf quadratische Konvergenz kommst: Was den Reihenrest $\begin{align} r_n = \frac{1}{1-q} - \sum_{k=0}^n q^n \end{align}$ betrifft, liegt hier ganz klar "nur" lineare Konvergenz vor - die geometrische Reihe ist ja geradezu die Referenz für diese Konvergenzgeschwindigkeit.
12.05.2016, 16:51	Imladris	Auf diesen Beitrag antworten »
jupp, das ist mir nachdem ich den oben genannten Fehler gesehen hatte, auch direkt klar geworden

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