Konvexe Menge und Matrixrechnung

26.04.2016, 20:27	Marvin12354	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvexe Menge und Matrixrechnung Hi Leute! Ich habe folgende Aufgaben zu bearbeiten: Ist die Menge L:= { $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Elem. R2 \| 3x1 - x2 <= 6 UND -x1 + 5x2 >= 2 UND x1 >= 0 UND x2 >= 0} konvex? Mein Ansatz hierfür ist: Sei r ein Element aus [0,1] Dann ist A(rx + (1- r)y = rAx + (1 - r) Ay = r b + (1- r) b >= 0, weil: r >= 0 b >= 0 1 - r >= 0, also ist das Ergebnis auch >= 0 dann habe ich allerdings für r = 0 A(rx + (1-r))y = A(0x + (1-0)y) = 0Ax + 1 Ay = Ay, was ja nicht zwangsweise >= 2 ist, also ist die Menge nicht konvex? Die nächste Aufgabe ist Betrachten wir den Restriktionsbereich M := {x Element Rn \| A * x = b, x >= 0} mit A= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2.2 & 1.6 & -2 & 1.8 & -1.5 & -0.6 & 3.6 \\ 1.8 & -0.8 & 1 & 2.2 & 1.8 & 3.4 & 4.4 \\ -1.4 & 0.3 & 1.7 & -3 & 2.2 & 0.7 & 2.3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , b = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Geben Sie eine Basismatrix von A mit zulässigem Basispunkt, eine Basismatrix von A mit nicht zulässigem Basispunkt und eine 3 x 3- Teilmatrix von A, die keine Basismatrix von A ist, an. Beweisen Sie ihre Behauptungen. Hierfür habe ich nur Teile - vermutlich weil mir viele Grundlagen fehlen. Meine Idee ist, Gauß anzuwenden und zu hoffen, dass sich was ergibt.. Heute wurden Schlupfvariablen besprochen, weshalb ich glaube, dass ich sie darauf anwenden kann, bin mir aber nicht sicher, wie. Bin für jede Hilfe dankbar
26.04.2016, 21:11	Marvin12354	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: konvexe Menge und Matrixrechnung Oh man, sorry, habe da nen dicken Fehler reingehauen, sehe das jetzt erst. Habe gedacht, dass die Matrix zur ersten Aufgabe gehört, hier ist die überarbeitete Version für die erste Aufgabe: Ist die Menge L:= { $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Elem. R2 \| 3x1 - x2 <= 6 UND -x1 + 5x2 >= 2 UND x1 >= 0 UND x2 >= 0} konvex? Mein Ansatz hierfür ist: Sei r ein Element aus [0,1] Dann ist rx+(1-r)y = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ + (( $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ - r $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ) Dann ist aber für r = 0 (für die 2.Eigenschaft der Menge, ergo -x1 + 5x2 >= 2): r(-x1 + 5x2) >= 2 mit r = 0: 0(-x1 + 5x2) >= 2 0 >= 2 falsch. Stimmt das?
27.04.2016, 13:36	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Durchschnitt von Halbebenen ist immer konvex. In höherdimensionalen Räumen ist der Durchschnitt von Halbräumen immer konvex. Für das Beispiel genügt auch eine Skizze, um das einzusehen.

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