Differentialquotient

26.04.2016, 21:01

Felix1

Differentialquotient

Meine Frage:
Hey, ich bin gerade dabei ein paar Aufgaben zum Differentialquotienten zu rechnen.

Als Beispiel also folgende Funktion:
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^{2}-x \end{eqnarray*}$

Jetzt möchte ich beispielsweise an x0=0 und x0=2 die Steigung ausrechnen.

Meine Ideen:
Für x0=0 kriege ich es noch halbwegs hin:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x0} \frac{(x^{2}-x)-(0^{2}-0) }{x-0} \lim_{x \to x0} \frac{x*(x-1)}{x} \lim_{x \to x0} x-1 = -1 \end{eqnarray*}$

Sobald da aber etwas mehr im Zähler stehen bleibt stecke ich ein bisschen fest. Also für x0=2 würde es ja so aussehen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x0} \frac{(x^{2}-x)-(2^{2}-2) }{x-2} \end{eqnarray*}$

Könnte natürlich im Zähler noch die 2. Klammer ausrechnen aber das hilft mir auch nicht direkt weiter. Stecke ein bisschen in einer Sackgasse, da ich ein ziemlich versteift darauf bin irgendwie (x-2) im Zähler auszuklammern um es dann wegkürzen zu können.

Vllt. kann mir jemand einen Tipp geben wie man am besten weitermacht bei sowas.

Grüße

27.04.2016, 07:00

MeMeansMe

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RE: Differentialquotient
Hey,

du kannst den Zähler so umformen, dass dort schön ein $\begin{eqnarray*} (x-2) \end{eqnarray*}$ steht. Scheinbar hast du das auch schon versucht. Vielleicht kannst du mal deine Umformungen des Zählers posten, damit wir schauen können, was eventuell schief läuft.

27.04.2016, 11:41

Felix1

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Hey, danke für deine Antwort.

Ich muss gestehen, ich bin bei der Umformung des Zählers nicht wirklich weitergekommen da das Minus vor dem x mich irgendwie daran hindert.

Somit schaffe ich es nur (x+2) bzw (-x-2) auszuklammern (wobei ich mir nichtmal sicher bin ob das richtig ist):
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x0} \frac{(x^{2}-x)-(2^{2}-2) }{x-2}\\ \lim_{x \to x0} \frac{(-x-2)*(1+\frac{x^{2} }{-x-2}) }{x-2} \end{eqnarray*}$

Ich vermute um (x-2) vernünftig auszuklammern sind noch ein bzw. mehrere Zwischenschritte nötig, die ich leider beim besten Willen nicht sehe.

Evtl. kann mir jmd. einen Tipp geben in welche Richtung man da gehen muss.

Grüße

27.04.2016, 11:51

klarsoweit

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Im Prinzip hast du im Zähler ein quadratisches Polynom stehen. Das sollte sich mit dem Satz von Vieta faktorisieren lassen. Vermutlich wird einer der Faktoren (x-2) sein. smile

27.04.2016, 15:45

Felix1

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Danke, ich denke damit hat es dann geklappt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x0} \frac{(x^{2}-x)-(2^{2}-2) }{x-2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x0} \frac{(x+1)*(x-2)}{x-2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x0} (x+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =3 \end{eqnarray*}$
Ohne solche Sätze zu kennen fällt es mir mehr als schwer auf die Lösung zu kommen.

Mal angenommen die ursprüngliche Gleichung würde x^3-x lauten und ich möchte wieder die Steigung bei x0=2 berechnen. Der Limes wäre dann ja:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x0} \frac{(x^{3}-x)-(2^{3}-2) }{x-2} \end{eqnarray*}$
Der Satz von Vieta lässt sich darauf ja nicht wirklich anwenden, und auch sonst lässt sich (x-2) nicht auf Anhieb ausklammern, wenn ich das richtig sehe.
Gibt es für sowas ein allgemeines Vorgehen oder ist das schon zu hart für eine Klausur?

27.04.2016, 15:49

klarsoweit

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Nun ja, du könntest hier eine Faktorisierung über die Polynomdivision $\begin{eqnarray*} (x^3 - x - 6) / (x-2) \end{eqnarray*}$ erreichen. smile

27.04.2016, 16:21

Felix1

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Danke. Habs mal probiert und bin tatsächlich auf ein Ergebnis gekommen (Was mich selbst ein bisschen verwundert).
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x0} \frac{(x-2)*(x^{2}+2x+3) }{x-2} \end{eqnarray*}$
Der Grenzwert ist dann 11, was sogar stimmt smile

Hatte die Polynomdivision garnicht mehr auf dem Schirm und musste mir eben durchlesen wie das überhaupt geht. Bin dann auf den Satz gestoßen:

Zitat:

Wie schon bekannt ist, lässt sich das Polynom f(x) zerlegen in (x – x0)·q(x) , wenn x0 eine Nullstelle der zugehörigen Funktion f ist.

Auf Grund der Form des Differentialquotienten sollte x0 ja immer eine Nullstelle der Funktion sein. Ist es somit nicht fast immer möglich (außer vllt. bei speziellen Funktionen wie Sinus etc (???)) eine Polynomdivision zu machen um den Nenner im Zähler auszuklammern und somit wegzukürzen?

Grüße

28.04.2016, 08:30

klarsoweit

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Wie der Name schon sagt, geht eine Polynomdivision eben nur bei Polynomen. Aufgrund der Form des Differenzenquotienten funktioniert das dort auch immer. smile

28.04.2016, 09:21

Felix1

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Danke das hilft mir weiter.

Werde später nochmal ein paar Aufgaben rechnen. smile

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