Borel Sigma Algebra konvexe Dichte

27.04.2016, 11:04

Shalec

Borel Sigma Algebra konvexe Dichte

Hallo,
gibt es auf $\begin{eqnarray*} (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R})) \end{eqnarray*}$ eine konvexe Dichtefunktion f?
Kann ich mir unter einer konvexen Dichtefunktion das gleiche vorstellen, wie unter einer konvexen Funktion? (Der Begriff "konvex" wurde bislang nur für eine Menge eingeführt.)

Wenn es keine gibt, was würde dagegen sprechen? Hat es etwas damit zu tun, dass unter Umständen
$\begin{eqnarray*} (*)\quad \int_{\mathbb{R}} f(x) dx = 1 \end{eqnarray*}$ verletzt sein könnte?

Eine Definition auf die ich mich berufen kann:
Für $\begin{eqnarray*} x,y\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t\in [0,1] \end{eqnarray*}$ gilt für eine konvexe Funktion $\begin{eqnarray*} (**) \quad f(tx+(1-t)y) \leq tf(x) + (1-t)f(y) \end{eqnarray*}$

Wie kann ich (*) mit (**) vereinbaren? Integriere ich dann über x,y?

Viele Grüße

27.04.2016, 11:47

HAL 9000

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Da gibt es eine Menge Möglichkeiten, einen Widerspruchsbeweis zu basteln, z.B. so:

$\begin{align*} f(x)\geq 0 \end{align*}$ für alle $\begin{align*} x \end{align*}$ gilt nach Voraussetzung. Es existiert ein $\begin{align*} x_1 \end{align*}$ mit $\begin{align*} f(x_1)>0 \end{align*}$ , andernfalls wäre $\begin{align*} \int\limits_{\mathbb{R}} f(x) ~ \dd x = 0 \end{align*}$ .

Betrachten wir nun irgendein $\begin{align*} x_2>x_1 \end{align*}$ .

1.Fall: $\begin{align*} f(x_2)\geq f(x_1) \end{align*}$ . Dann gilt nach Konvexitätsbedingung sogar $\begin{align*} f(x)\geq f(x_2)\geq f(x_1) \end{align*}$ für alle $\begin{align*} x\geq x_2 \end{align*}$ , was zu $\begin{align*} \int\limits_{x_2}^{\infty} f(x) ~ \dd x=\infty \end{align*}$ führt, Widerspruch.

2.Fall: $\begin{align*} f(x_2)< f(x_1) \end{align*}$ . Dann gilt nach Konvexitätsbedingung $\begin{align*} f(x)\geq f(x_1) \end{align*}$ für alle $\begin{align*} x\leq x_1 \end{align*}$ , was zu $\begin{align*} \int\limits_{-\infty}^{x_1} f(x) ~ \dd x=\infty \end{align*}$ führt, ebenfalls Widerspruch.

27.04.2016, 13:01

Shalec

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Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{align*} x_2 > x_1 \end{align*}$
2.Fall: $\begin{align*} f(x_2)< f(x_1) \end{align*}$ . Dann gilt nach Konvexitätsbedingung $\begin{align*} f(x)\geq f(x_1) \end{align*}$ für alle $\begin{align*} x\leq x_1 \end{align*}$

Dies kann ich irgendwie nicht so ganz nachvollziehen. Ist denn meine oben genannte Konvexitätseigenschaft hierauf anwendbar? Oder gibt es eine alternative Formulierung?

Der Rest ist soweit klar. Widersprüche für f=0 gegen die Lebesguedichte-Definition. Auch die Widersprüche der anderen beiden Fälle: Widersprechen der Definition eines W'maßes auf Borelmengen.

Vielen Dank - auch in diesem Fall - wieder für deine schnelle Hilfe!

(Zu den Personen aus dem Kurs: Der Kurs ist heterogen,
Lehramtler (keine Kenntnisse über Konvexität oder nicht-Riemann-Integrale, 6. Semester. bisherige mathematische Vorlesungen LinA1 und 2, Ana1 und 2 (metrische Räume, Differenzierbarkeit, Riemannintegral) Angewandte (inhomogene DGL und Approximationen), Geometrie )

und Vollfachstudenten (erweiterte Kenntnisse über die oben genannten Strukturen zusätzlich Integration auf komplexe Untermannigfaltigkeiten und co. Vorlesungen Ana1-3, LinA1-2, Algebra, Numerik, Funktionentheorie/Funktionalanalysis; 4. Semester)

Ich versuche die Aufgaben im Sinne der Lehramtsstudierenden zu lösen. (Abgesehen von meiner generellen Abneigung bzgl. der Stochastik Big Laugh

warum auch immer..)

27.04.2016, 14:35

HAL 9000

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Zitat:

Original von Shalec

Zitat:

Dies kann ich irgendwie nicht so ganz nachvollziehen. Ist denn meine oben genannte Konvexitätseigenschaft hierauf anwendbar?

Die von mir da getätigte Aussage ist eine Folgerung, die sich auch mit Hilfe deiner Formulierung der Konvexitätseigenschaft nachweisen lässt - streng dich mal an, ich verrat ja nicht gleich alles. Augenzwinkern

EDIT: Ok, für den ersten Fall rechne ich es mal vor. Wir nutzen

$\begin{align*} f(tx+(1-t)y) \leq tf(x) + (1-t)f(y)\qquad (*) \end{align*}$

für beliebiges $\begin{align*} x \end{align*}$ mit $\begin{align*} x\geq x_2 \end{align*}$ , $\begin{align*} y=x_1 \end{align*}$ und wählen $\begin{align*} t \end{align*}$ so, dass $\begin{align*} tx+(1-t)x_1=x_2 \end{align*}$ . Letzteres ist möglich, da bei dieser Lage ja $\begin{align*} x_2 \end{align*}$ zwischen $\begin{align*} x_1 \end{align*}$ und $\begin{align*} x \end{align*}$ liegt (konkret ist dann umgestellt $\begin{align*} t= \frac{x_2-x_1}{x-x_1} \end{align*}$ eine Zahl aus dem Intervall $\begin{align*} (0,1] \end{align*}$ ).

Aus (*) folgt dann $\begin{align*} f(x_2) \leq tf(x) + (1-t)f(x_1) \end{align*}$ , umgestellt

$\begin{align*} f(x) \geq \frac{f(x_2)-(1-t)f(x_1)}{t} \geq \frac{f(x_2)-(1-t)f(x_2)}{t} = f(x_2) \end{align*}$ ,

das zweite $\begin{align*} \geq \end{align*}$ in dieser Ungleichungskette folgt dabei aus $\begin{align*} f(x_1)\leq f(x_2) \end{align*}$ .

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