Konvergenz differenzierbarer Funktion

27.04.2016, 13:03

tobi94

Konvergenz differenzierbarer Funktion

Hi,
nachdem ich mich mit Mühe und Not durch Analysis 1 gekämpft habe, bin ich derzeit ein wenig am verzweifeln, ob der Analysis 2 Übungsaufgaben. Vielleicht könnt ihr mir ja ein paar Denkanstöße, Hinweise, Schlagwörter etc. für die folgende Aufgabe liefern smile

Es sei f eine differenzierbare Funktion. Die Folge $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ sei bei gegebenem $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ definiert durch: $\begin{eqnarray*} x_{n+1} = f (x_n) \end{eqnarray*}$
Die Folge $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ sei nicht fast konstant (d.h. es gebe kein $\begin{eqnarray*} N\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} x_k = x_l \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k,l ~\geq N \end{eqnarray*}$ ). Man zeige: Konvergiert $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} \alpha \in ~\mathbb R \end{eqnarray*}$ , dann gilt $\begin{eqnarray*} |f'(\alpha)| \leq 1 \end{eqnarray*}$

Mein Problem ist einfach, dass ich vor der Aufgabe sitze und keine Ahnung habe wie ich anfangen soll. Ich überlege mir was ich aus den gegebenen Aussagen ableiten kann, aber das ist nicht so wirklich viel. Dass die Folge nicht fast konstant ist, sagt mir dass die erste Ableitung nicht dauerhaft 0 werden kann. Ferner meine ich mich zu erinnern, dass wenn eine Folge gegen einen Grenzwert konvergiert, dadurch eine Grenzfunktion definiert wird. Was das jetzt aber für die Ableitung $\begin{eqnarray*} f'(\alpha) \end{eqnarray*}$ bedeutet, ist mir ehrlich gesagt schleierhaft unglücklich

27.04.2016, 23:15

Guppi12

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Hi tobi94, herzlich Willkommen im Forum

Damit $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine Funktion ist, fehlt irgendwie noch ein Definitions- und Wertebereich. Ansonsten macht die Aufgabe keinen Sinn.

Betrachte etwa die Funktion $\begin{eqnarray*} f: (0,1)\to\mathbb R, x\mapsto x^2 \end{eqnarray*}$ .

Wähle $\begin{eqnarray*} x_0 := \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ . Dann konvergiert die Folge gegen $\begin{eqnarray*} \alpha = 0 \end{eqnarray*}$ , allerdings ist $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ undefiniert.

Ich gehe daher von nun an davon aus, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine Abbildung $\begin{eqnarray*} f:[a,b]\to[a,b] \end{eqnarray*}$ ist.

Zeige zuerst, dass $\begin{eqnarray*} f(\alpha) = \alpha \end{eqnarray*}$ gilt. Zeige dann, dass $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ keines der Folgenglieder sein kann.

Schreibe dann $\begin{eqnarray*} |f'(\alpha)| = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{f(x_n)-f(\alpha)}{x_n-\alpha}\right| \end{eqnarray*}$ und leite einen Widerspruch her, falls die linke Seite größer als $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ist.

28.04.2016, 11:24

tobi94

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Hey Gruppi12, vielen Dank! smile

Also ich habe die Aufgabe wortwörtlich abgeschrieben, da ist von einem Definitionsbereich nirgendwo die Rede (siehe Anhang)

28.04.2016, 11:33

Guppi12

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Naja, du siehst ja selbst, dass man da mehr braucht, als in der Aufgabe steht. Ohne weitere Voraussetzungen könnte es ja zum Beispiel auch sein, dass allein die Folge garnicht wohldefiniert ist, weil man $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ zum Beispiel garnicht in $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ einsetzen darf.
Nimm dafür zum Beispiel $\begin{eqnarray*} f: (0,\infty)\to\mathbb R,x\mapsto \log(x) \end{eqnarray*}$ , Startwert $\begin{eqnarray*} x_0 = 2 \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} x_1 = \log(2) \approx 0.69 \end{eqnarray*}$ . Das heißt aber, dass $\begin{eqnarray*} x_2 = \log(\log(2)) \end{eqnarray*}$ kleiner als $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ist, also macht $\begin{eqnarray*} x_3 = \log(x_2) \end{eqnarray*}$ keinen Sinn.

Wie gesagt, du brauchst irgendeine Form von Zusatzannahme. An deiner Stelle würde ich einfach voraussetzen, dass $\begin{eqnarray*} f:[a,b]\to[a,b] \end{eqnarray*}$ für irgendwelche $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ .

28.04.2016, 11:45

tobi94

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Okay!

Die größten Probleme macht mir eigentlich direkt der erste Schritt, nämlich zu zeigen, dass f( $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ) = $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ gilt. Angenommen das hätte ich schon gezeigt, würde ich sagen, dass Alpha kein Folgenglied seien kann, weil sonst, müssten alle Folgeglieder nach Alpha ebenfalls Alpha als Ergebnis haben (wegen der Konvergenz gegen Alpha), was wiederum aber der Voraussetzung dass die Funktion nicht fast konstant ist widersprechen würde.

28.04.2016, 11:50

Guppi12

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Zitat:

Angenommen das hätte ich schon gezeigt, würde ich sagen, dass Alpha kein Folgenglied seien kann, weil sonst, müssten alle Folgeglieder nach Alpha ebenfalls Alpha als Ergebnis haben (wegen der Konvergenz gegen Alpha)

Es ist zwar richtig, dass dann alle Folgenglieder danach ebenfalls $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ sein müssten, die Begründung ist aber falsch. Was ist mit der Folge $\begin{eqnarray*} (0,1,0,\frac{1}{2},0,\frac{1}{3},0,\frac{1}{4},...) \end{eqnarray*}$ ? Die konvergiert doch auch gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ , aber es sind nicht alle Folgenglieder nach der ersten Null konstant. Die Null wird sogar unendlich oft als Wert angenommen.

Zum ersten Schritt: Verwende Folgenstetigkeit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ .

28.04.2016, 11:56

tobi94

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Mhm, könnte ich als Begründung argumentieren, dass $\begin{eqnarray*} x_{n+1} = f(x_n) \end{eqnarray*}$ gilt, und da $\begin{eqnarray*} f(\alpha) = \alpha \end{eqnarray*}$ würden durch die Definition danach alle $\begin{eqnarray*} x_{n+1} = f(\alpha) = \alpha \end{eqnarray*}$ sein?

Okay, dann versuche ich den ersten Schritt mal zu machen, muss jetzt erstmal zur Vorlesung, melde mich dann später wenn ich es versucht habe nochmal. Vielen Dank schonmal bis hierhin smile

28.04.2016, 12:09

Guppi12

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Das ist auf jeden Fall die richtige Begründung. Wie weit du das ausführen musst, musst du selbst wissen. Streng formal zum Beispiel mit vollständiger Induktion.

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