Inverser Bessel-Prozess

27.04.2016, 15:51	daLoisl	Auf diesen Beitrag antworten »
Inverser Bessel-Prozess Guten Tag, ich möchte zeigen, dass der inverse Bessel-Prozess $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ , definiert durch $\begin{eqnarray} M_t := \frac{1} {\sqrt{B^{(1)}(t)^2+B^{(2)}(t)^2+B^{(3)}(t)^2}} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} B(t) = (B^{(1)}(t),B^{(2)}(t),B^{(3)}(t)) \end{eqnarray}$ eine dreidimensionale Brownsche Bewegung mit Startwert $\begin{eqnarray} B(0) = (1, 0, 0) \end{eqnarray}$ ist, kein Martingal ist. Ich weiß bereits, dass $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ ein lokales Martingal ist und dass $\begin{eqnarray} \mathbb E (M_t) = 2 \Phi(t^{-\frac{1}{2}})-1 \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \Phi \end{eqnarray}$ dei Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ist. Ich glaube, man benötigt diesen Satz: $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ ist genau dann ein Martingal, wenn für alle $\begin{eqnarray} t \ge 0 \end{eqnarray}$ die Familie $\begin{eqnarray} \{M_T : T \mbox{ eine Stoppzeit mit }T \le t \} \end{eqnarray}$ gleichmäßig integrierbar ist. Bisher war ich nicht erfolgreich, eine Stoppzeit in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ zu wählen, sodass ich die Negation von obigem zeigen kann. Kann mir da jemand weiterhelfen? Liebe Grüße daLoisl

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