Gegenstück von x?

28.04.2016, 09:43

Justice

Gegenstück von x?

Hallo zusammen. Wink

Eine Zahl (beschränken wir sie vorerst auf Reelle) hat immer ein "Gegenstück" auf einer spezifischen Operationsebene.

Mit Operationsebene meine ich:
- Ebene 1: Addition/Subtraktion
- Ebene 2: Multiplikation/Division
- Ebene 3: Potenzieren/Wurzelziehen

(Mit Ebenen meine ich: wie wir ja alle wissen, die grössere Ebene kann wiederholte gleiche Operationen der kleinere Eben vereinfacht darstellen. Bsp.: $\begin{eqnarray*} 3 + 3 + 3 + 3 = 3 * 4; 3 * 3 * 3 * 3 = 3^4 \end{eqnarray*}$ )

Was ist das Gegenstück von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ in den jeweiligen Ebenen?
Ebene 1: 0 - $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ = - $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ = -3.14159...
Ebene 2: 1/ $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ = 0.31831...
Ebene 3: ???

Ich hab da für die Ebene 3 ein Konzept (und für $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ eine Zahl), und wollte wissen ob ihr diese auch kennt bzw. herleiten könnt.

Big Laugh

28.04.2016, 10:37

Guppi12

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Hallo,

Exponentiation mit $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} x^{\pi} \end{eqnarray*}$ ist für $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ definiert als $\begin{eqnarray*} \exp(\pi\log(x)) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(\pi\log(x))^n}{n!} \end{eqnarray*}$ .

Analog ist die $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ -te Wurzel $\begin{eqnarray*} \sqrt[\pi]{x} := x^\frac{1}{\pi} = \exp\left(\frac{\log(x)}{\pi}\right) \end{eqnarray*}$ .

Wenn also die Frage ist: "Womit muss ich Potenzieren, um das Potenzieren mit $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ rückgängig zu machen?", so ist die Antwort $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi} \end{eqnarray*}$ .

10.05.2016, 16:34

Justice

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Zitat:

Original von Guppi12
Wenn also die Frage ist: "Womit muss ich Potenzieren, um das Potenzieren mit $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ rückgängig zu machen?", so ist die Antwort $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi} \end{eqnarray*}$ .

Genau, dies könnte man als Lösung ansehen, obwohl es unschönerweise den gleichen Wert hat wie bei der Punktrechnung.

Um eine weitere Lösung in Betracht ziehen zu können untersuchen wir, wie die "4te" Ebene ausschaut:

Mit der Bespielzahl 3: $\begin{eqnarray*} (((3^{3})^{3})^{3})^{3} = 3^{3^{4}} = 3_{4} \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} 3_{4} \end{eqnarray*}$ bezeichnen wir hier die nächste "Ebene 4" Operation. Und die positive Zahl 4 steht für die Anzahl Potenzierungen. (Negative würden für Anzahl Radizierungen stehen).

Wenn wir nun annehmen wir wollen mit der selben Operation den Vorgang rückgängig machen, erhält man das "Gegenstück" indem es mit mit der nächst höheren Operation mit -1 operiert:

Beispiel:
n = beliebiger Term
a = reelle Zahl die n modifiziert

für Addition: $\begin{eqnarray*} (n + a) + (a \cdot -1) = n \end{eqnarray*}$ hier Multiplikation mit -1

für Multiplikation: $\begin{eqnarray*} (n \cdot a) \cdot (a^{-1}) = n \end{eqnarray*}$ hier Potenzierung mit -1

für Potenzieren: $\begin{eqnarray*} (n^{a})^{a_{-1}} = n \end{eqnarray*}$ hier 4-te Operation mit -1
wobei $\begin{eqnarray*} a_{-1} \end{eqnarray*}$ die a-te Wurzel von $\begin{eqnarray*} a^{-a} \end{eqnarray*}$ beschreibt. Gekürzt auch wieder interessanterweise den "Gegenstück"-Wert von $\begin{eqnarray*} a^{-1} \end{eqnarray*}$ .

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