Potenzreihe und Ableitungen einer Funktion

28.04.2016, 10:19

0815

Potenzreihe und Ableitungen einer Funktion

Hallo alle zusammen,

ich habe leider bei einem Typ Beispiel zur Entwicklung von Funktionen in Potenzreihen gröbere Verständnisprobleme, die ich bis jetzt weder mit Skriptum noch Internetsuche lösen konnte.
Vorausschickend muss ich sagen, dass uns die angeführten Formeln einfach an den Kopf geklatscht wurden und wir keine Einführungsbeispiele haben, an denen ich mich orientieren könnte. Daher entschuldige ich mich jetzt schon für mögliches Auf-der-Leitung-Stehen und Schwer-von-Begriff-Sein. Hammer

Das Beispielart sieht folgendermaßen aus:
Gegeben ist die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{-3x^2+1} \end{eqnarray*}$ .
* Entwickeln Sie diese Funktion mithilfe der geometrischen Reihe in eine Potenzreihe mit Entwicklungsstelle x0 = 0.
* Für welche reellen x konvergiert diese Reihe?
* Berechnen Sie die Potenzreihe der 1. Ableitung.
* Bestimmen Sie mithilfe der Potenzreihe aus dem 1. Punkt die 6. und die 15. Ableitung an der Stelle x0 = 0.

Das Entwickeln bekomme ich langsam hin, da die geometrische Reihe $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-q} = \sum\limits_{k=0}^{\infty} q^k \end{eqnarray*}$ ist, nehme ich 3x² als mein q und bekomme $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} (3x^2)^n \end{eqnarray*}$ , was auch laut den Lösungen stimmt.
Um zu konvergieren, muss der Betrag von q < 1 sein, also der Betrag von x kleiner als $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$ (sollte auch noch stimmen).

Ab hier komme ich nicht weiter bzw. verstehe nicht, was ich falsch mache und wie es richtig geht.

Für die Ableitung einer Potenzreihe haben wir in unserem Skript die Formel $\begin{eqnarray*} f'(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} nx^{n-1} \end{eqnarray*}$ .
Jetzt hätte ich gedacht, dass ich ich bei meiner Potenzreihe auch einfach $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} n(3x^2)^{n-1} \end{eqnarray*}$ schreiben kann, was komplett falsch war. Dann dachte ich, es geht vielleicht mit Aufteilen des Exponenten, dass ich dann für mein q = $\begin{eqnarray*} (2x)^nx^n \end{eqnarray*}$ habe und das mit der Produktregel ableite, aber auch das bringt mich nicht auf die Formel in der Lösung, die lautet: $\begin{eqnarray*} f'(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} 6(n+1)(3x^2)^{n} \end{eqnarray*}$
Wie komme ich bitte auf dieses Ergebnis? verwirrt

Um die Ableitungen an einer Stelle zu berechnen, haben wir im Skript folgende Formel: $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ sozusagen all das ist, was in der Summe steht und nicht das $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ ist.
Als $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ hätte ich in meiner Potenzreihe die $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ hergenommen, aber da komme ich durch Multiplikation nicht auf das richtige Ergebnis. Dann habe ich versucht, den Exponenten zu halbieren (weil das x ja noch quadriert ist), das hat mich dann zwar bei der 6. Ableitung auf den richtigen Zahlenwert, aber das falsche Vorzeichen gebracht.
Jetzt frage ich mich: a) Wie kann ich mein $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ so bestimmen, dass ich nicht eine Lösung daneben liegen haben muss, auf die ich "hinbastle", und
b) Wie kommt das Vorzeichen in einen Ausdruck, der nur positive Zahlen enthält? Bei einem ähnlichen Beispiel, wo ebenfalls alle Zahlen in der Reihe positiv waren und die 8. Ableitung gesucht war, war das Vorzeichen wieder positiv. Wie bestimme ich das?
Weiters ist bei all diesen Beispielen die 2. gesuchte Ableitung (immer eine ungerade Zahl, also z.B. 17., 9., 15.) immer 0 - was ich mit den Formeln, die ich kenne, auch nicht verstehe. Oder sind bei Potenzreihen die ungeraden Ableitungen einfach immer 0?

Ich würde mich echt freuen, wenn mir jemand das oder auch schon einen Teil davon erklären könnte. Gott

Wir haben das nur so schnell-schnell durchgehudelt in der VO, ist aber trotzdem Prüfungsstoff und ich würde ihn gern verstehen...

28.04.2016, 10:44

klarsoweit

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RE: Potenzreihe und Ableitungen einer Funktion

Zitat:

Original von 0815
Wie komme ich bitte auf dieses Ergebnis? verwirrt

Leite $\begin{eqnarray*} (3x^2)^{n+1} \end{eqnarray*}$ mit der Kettenregel ab. Allerdings komme ich aber auch nicht ganz auf die genannte Lösung.

28.04.2016, 11:17

0815

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RE: Potenzreihe und Ableitungen einer Funktion
Stimmt, wenn man das so rechnet sind es ja $\begin{eqnarray*} 6x(n+1)(3x^2)^n \end{eqnarray*}$ . geschockt

Aber warum nimmt man den Exponenten überhaupt als n+1? Auf die Idee wäre ich von der Formel, die ich für die Ableitung habe, nie gekommen...

28.04.2016, 11:35

klarsoweit

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RE: Potenzreihe und Ableitungen einer Funktion
Nun ja, im Prinzip macht man in der Potenzreihe vor dem Ableiten einen Indexshift, so daß man im Summanden den Exponenten n+1 hat. Der Vorteil ist, daß man nach dem Ableiten wieder die übliche Form mit Exponenten n hat. smile

28.04.2016, 11:40

0815

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RE: Potenzreihe und Ableitungen einer Funktion
Ah, verstehe! Das klingt wirklich praktischer. smile

Aber geht dann die Reihe nicht statt von 0 bis unendlich von -1 (falls ich jetzt nicht in die falsche Richtung gerechnet habe) bis unendlich oder macht das nichts?

28.04.2016, 13:54

klarsoweit

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RE: Potenzreihe und Ableitungen einer Funktion
Man macht natürlich noch eine kleine Umformung:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} (3x^2)^n = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} (3x^2)^n = 1 + \sum_{n=0}^{\infty} (3x^2)^{n+1} \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

28.04.2016, 15:30

0815

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RE: Potenzreihe und Ableitungen einer Funktion
Oh ja, eigentlich eh logisch... Hammer

Also nochmal um sicherzugehen, dass ich mir da keinen Fehler einlerne: Wenn ich die Potenzreihe ableiten will, zieh ich zuerst den Einser von n = 0 heraus, leite dann ganz normal das mit n+1 ab und hab dann wieder eine Potenzreihe mit n als Exponenten, da der Einser als Konstante ja wegfällt, oder?

Vielen Dank für das schon mal, ich beginne langsam Licht am Ende des Tunnels zu sehen. smile

Könntest du mir vielleicht auch sagen, ob zumindest mein Gedankengang fürs Berechnen der 6./17./etc. Ableitung richtig war? Also n! mal dem $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ -Term (ob ich den richtig hinbekomme, ist vermutlich eh eine andere Geschichte...)?

28.04.2016, 15:41

HAL 9000

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Eine Frage vorab: Wozu brauchst du diese Ableitungen? Normalerweise zur Bestimmung der Koeffizienten der Potenzreihe über die Taylorreihe, aber hier hast du die Potenzreihenkoeffizienten doch schon anderweitig über die geometrische Reihe erhalten.

28.04.2016, 16:31

0815

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Ich soll diese Ableitungen bei Null einfach ausrechnen, ist wohl als Rechenübung gedacht... verwirrt

Wie bereits angesprochen, das ganze Kapitel wurde innerhalb von 60 Minuten durchgenommen und ist auch in meinen Unterlagen nicht genauer erklärt als das, was ich bisher gepostet hab. Meine Fähigkeit zum logischen Denken reicht aber scheinbar nicht aus, anhand dessen die Beispiele zu lösen... Ups

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