Berechnung Lebesgue-Maße |
| 28.04.2016, 16:51 | Juuuuuuulee | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Berechnung Lebesgue-Maße Ich muss für ein Maßtheorie Übungsblatt das Lebesgue-Maß verschiedener Mengen berechnen, ich möchte dazu gerne die folgende Aussage verwenden (vgl. Bild). Gilt diese Aussage? Und wenn nicht, könntet ihr mir ein Gegenbeispiel nennen? [attach]41479[/attach] Meine Ideen: Ich habe bereits eine Rohfassung für einen Beweis erstellt, basierend auf dem Eindeutigkeitssatz. Ich bin mir an einigen Stellen bisher nicht sicher, sodass ich diesen ausarbeiten müsste, stehe aber leider unter Zeitdruck. Wenn die Aussage nicht gilt, möchte ich mich auf eine alternative Beweismethode konzentrieren (über abzählbare Schnitte). |
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| 28.04.2016, 16:59 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist eigentlich die Definition des k-dimensionalen Lebesguemaßes, d.h., als k-faches Produktmaß des eindimensionalen Lebesguemaßes. Und der erste Schritt bei einer derartigen Produktmaß-Bildung ist ja das Maß von solchen kartesischen Produkten als Produkt der einzelnen Maßwerte festzulegen. Insofern: Ja, das stimmt einfach per Definition. |
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| 28.04.2016, 17:01 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Berechnung Lebesgue-Maße - Verständnisfrage Vermutlich nur Tippfehler, aber wirkt sinniger. @HAL Man kann es auch über Approximation mit Quadern definieren -- auch wenn man dann das Volumen der Quader dann natürlich über die Produkte der einzelnen Seitenlänge definiert. |
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| 28.04.2016, 17:10 | Juuuuuuulee | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Huch, das ist tatsächlich ein Tippfehler. Danke für den Hinweis @IfindU. Wir haben das Lebesgue-Maß wie bereits unten vermutet über die Approximation mit Quadern definiert. Dass die Aussage gilt, schien mir sinnvoll, sollte aber nach unserer Definition für allgemeine Elemente aus der Borel-Algebra zumindest begründet werden, damit niemand am Ende meckert. 
Daher vielen Dank euch beiden, ich werde dann meinen Beweis noch einmal schön aufschreiben! Damit lässt sich die Aufgabe wesentlich eleganter lösen 
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| 28.04.2016, 20:10 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Berechnung Lebesgue-Maße - Verständnisfrage
Ja Ok, es reicht tatsächlich aus, diese Produktformel nur für kartesische Produkte mit Ausgangsmengen aus Erzeugendensystemen der Ausgangs-Sigmaalgebren zu fordern, wie eben z.B. Intervalle. |
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