Geschlossene Form von Summen

28.04.2016, 21:28

janne123

Geschlossene Form von Summen

Meine Frage:
Leider konnte ich in den ersten Vorlesungen nicht anwesend sein, muss nun aber eine Übung absolvieren.
Könnte mir jemand erklären, was man unter einer geschlossenen Form versteht? Ich soll u. a. eine Vermutung für eine geschlossene Form der folgende Summe aufstellen und diese beweisen:

Summe (2i-1) von i=1 bis n = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n-1)

Ich habe absolut keine Ahnung, wie ich vorgehen soll.

Danke im Voraus!

Meine Ideen:
Macht man aus einer Summe eine Reihe, z. B. an = 2n + 1 mit n e N0?

28.04.2016, 23:30

mYthos

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.. und diese Reihe ist eine arithmetische Reihe mit der Differenz $\begin{eqnarray*} d = 2 \end{eqnarray*}$

Dazu gilt:

$\begin{eqnarray*} a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s_n = \frac {\color{red}n}{\color{black} 2} (a_1 + a_n) \end{eqnarray*}$

Edit (mY+): Fehler korrigiert.

mY+

29.04.2016, 09:22

Matt Eagle

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Zitat:

Original von mYthos
.. und diese Reihe ist eine arithmetische Reihe mit der Differenz $\begin{eqnarray*} d = 2 \end{eqnarray*}$

Dazu gilt:

$\begin{eqnarray*} a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s_n = \frac 1 2 (a_1 + a_n) \end{eqnarray*}$

mY+

Da hat sich ein kleiner Fehler eingeschlichen.

Richtig wäre:

$\begin{eqnarray*} S_n:=\sum_{k=1}^n a_k=\frac{n(a_1+a_n)}2. \end{eqnarray*}$

29.04.2016, 09:27

Elvis

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Die Formel muss man sich nicht einmal merken, denn man kann immer den alten Trick vom jungen Gauß anwenden

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 & ... & 2n-3 & 2n-1 \\ 2n-1 & 2n-3 & 2n-5 & ... & 3 & 1 \\ = & = & = & ... & = & = \\ 2n & 2n & 2n & ... & 2n & 2n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt muss man nur noch wissen (oder besser: aus der Laufvariablen i der Summe herleiten), wie viele Summanden 2n das sind und die Summe durch 2 teilen ... der Beweis läuft dann durch vollständige Induktion über n ... vielleicht ist es doch einfacher, sich die Formel von mYthos oder MattEagle zu merken ... die beweist man so wie oben angedeutet.

29.04.2016, 15:59

mYthos

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Danke, Matt Eagle, Flüchtigkeitsfehler, ärgerlich!
Ich bessere es gleich aus.

mY+

30.04.2016, 21:34

gastritis22a

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Schau doch mal hin: 1, 4, 9, 16, 25
Bilde Differenzenfolgen und Differenzenfolgen der Differenzenfolgen wenn du es nicht gleich siehst.

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