Suche Funktionenfolge

29.04.2016, 15:19

GutBio

Suche Funktionenfolge

Meine Frage:
Hallo!

Sei $\begin{eqnarray*} A=\left\{f\in C([0,1],\mathbb{R}): f(0)=0, \lim_{r\searrow 0}\frac{f(r)}{r}\text{ existiert}\right\} \end{eqnarray*}$ ,

d.h. A ist die Menge aller stetigen reellwertigen Funktionen auf [0,1], die in x=0 den Wert 0 annehmen und deren rechtsseitige Ableitung im Punkt 0 existiert.

Ich suche nach einer Funktionenfolge $\begin{eqnarray*} (f_n)\in A^{\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ mit der Eigenschaft $\begin{eqnarray*} f_n\searrow 0 \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\lim_{r\searrow 0}\frac{f_n(r)}{r}\neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Ich bin noch auf keine eigene Idee gekommen, die funktioniert.

29.04.2016, 15:51

Guppi12

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Hallo,

nimm dir eine beschränkte differenzierbare Funktion her, deren Ableitung in $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ nicht verschwindet.
Wenn du die mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ multiplizierst, konvergiert die entstehende Folge schonmal gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ . Wie könntest du diese Funktionfolge jetzt zusätzlich noch modifizieren, damit die Ableitungen nicht gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ konvergieren?

29.04.2016, 16:05

GutBio

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Also auf [0,1] ist doch f(x)=x eine beschränkte Funktion, deren Ableitung 1 ist also in 0 nicht verschwindet.
Also $\begin{eqnarray*} f_n(x)=x/n \end{eqnarray*}$ .

Da gilt schonmal dass $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ in A ist, denn f(0)=0, f ist stetig auf [0,1] und die rechtsseitige Ableitung ist 1/n also existiert

und es gilt $\begin{eqnarray*} f_n\searrow 0 \end{eqnarray*}$ .

Aber jetzt weiß ich nicht, wie ich das modifizieren kann damit der Limes von 1/n nicht 0 ist.

29.04.2016, 16:17

GutBio

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Sowas wie $\begin{eqnarray*} f_n(x)=(1+\frac{1}{n})(x) \end{eqnarray*}$ geht ja nicht, da man dann nicht $\begin{eqnarray*} f_n\searrow 0 \end{eqnarray*}$ hat.

29.04.2016, 16:23

IfindU

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Kurzer Hinweis bis Guppi wieder da ist: Er war leider etwas unklar. Er meinte du sollst eine Funktion $\begin{eqnarray*} f : [0, \infty) \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ finden, die beschränkt ist.

29.04.2016, 16:36

GutBio

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Hm, da fallen mir jetzt zwar ein paar Funktionen ein, aber keine, die hier passt...

Läuft das Ganze irgendwie auf eine Dachfunkltion oder so hinaus oder einfacher?

29.04.2016, 18:25

Guppi12

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Zitat:

Original von IfindU
Kurzer Hinweis bis Guppi wieder da ist: Er war leider etwas unklar. Er meinte du sollst eine Funktion $\begin{eqnarray*} f : [0, \infty) \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ finden, die beschränkt ist.

Ja, da hast du Recht, das hätte ich besser formulieren sollen. Danke fürs Übernehmen.

Zitat:

Hm, da fallen mir jetzt zwar ein paar Funktionen ein, aber keine, die hier passt...

Welche sind dir denn so eingefallen?

Zum weiteren Modifizieren: denke an die Ableitungsregeln, welche von denen könnte dazu führen, dass die Ableitung groß wird, ohne, dass die Funktion größer wird? Gehe jede Regel einzeln durch und überlege, ob die was bringen könnte.

Zitat:

oder einfacher?

Das Beispiel, das mir vorschwebt, ist ziemlich einfach aufgebaut.

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