Rechtsseitige Ableitung

29.04.2016, 16:44	GutBio	Auf diesen Beitrag antworten »
Rechtsseitige Ableitung Meine Frage: Angenommen $\begin{eqnarray} f\colon [0,1]\to\mathbb{R} \end{eqnarray}$ ist stetig, $\begin{eqnarray} f\geq 0, f(0)=0 \end{eqnarray}$ und die rechtsseitige Ableitung in 0, also $\begin{eqnarray} \lim_{r\searrow 0}\frac{f(r)}{r} \end{eqnarray}$ exisitert. Gilt dann $\begin{eqnarray} \lim_{r\searrow 0}\frac{f(r)}{r}\geq 0 \end{eqnarray}$ ? Meine Ideen: Anschaulich kann ich die Frage mit JA beantworten, aber ich weiß nicht so wirklich, wie ich das gut begründet aufschreiben kann. Ich meine: Wenn $\begin{eqnarray} f(x)\geq 0 \end{eqnarray}$ ist und wir dann $\begin{eqnarray} r\searrow 0 \end{eqnarray}$ gehen lassen, wie soll $\begin{eqnarray} \frac{f(r)}{r} \end{eqnarray}$ da jemals negativ werden...
29.04.2016, 18:04	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kann die rechtsseitige Ableitung hier negativ sein? Die formale Begründung ist wirklich: Welches Vorzeichen hat der Zähler für $\begin{eqnarray} r > 0 \end{eqnarray}$ , welches der Nenner? Welches Vorzeichen hat dann der Quotient? Was passiert wenn man den Limes nimmt?
29.04.2016, 18:27	GutBio	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn r>0 ist, ist der Zähler 0 oder positiv und der Nenner positiv. Also ist der Quotient positiv oder 0. Und wenn man den Limes bildet, ändert sich daran nichts. So?
29.04.2016, 18:30	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Das interessanteste ist also: Sei $\begin{eqnarray} a_n \geq 0 \end{eqnarray}$ eine konvergente Folge. Zeige, dass dann der Grenzwert ebenfalls nichtnegativ ist. (z.B. über Widerspruch indem du annimmst es ist negativ.)
29.04.2016, 19:28	GutBio	Auf diesen Beitrag antworten »
Angenommen $\begin{eqnarray} a_n\geq 0 \end{eqnarray}$ und die Folge konvergiert gegen a. Ich hätte jetzt einfach gesagt: Angenommen a wäre negativ. Für bel. eps >0 gibts ein N, sodass $\begin{eqnarray} \lvert a_n-a\rvert\leq\varepsilon \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n\geq N \end{eqnarray}$ . Das heißt in einer kleinen Umgebung von a finden wir Folgenglieder $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ , die fast alle negativ sind. Widerspruch Kann man das so machen?
29.04.2016, 19:32	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau
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