Leitplanke in gefährlicher Kurve |
| 30.04.2016, 09:00 | willyengland | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Leitplanke in gefährlicher Kurve Zunächst mal ist die Aufgabe insofern komisch, dass gar nichts gefragt ist. Die Aufgabe steht am Anfang der Analysis, dort wo man anfängt 1. Ableitungen zu bilden. Was könnte da gemeint sein? Um das geschilderte Problem realistisch zu lösen, müsste man folgende 2 Fragen beantworten: 1. Wie lang muss die Leitplanke sein? 2. Von wo bis wo muss sie angebracht werden? Das ist nun sehr interessant! (für mich als Anfänger) Denn: Wie lang ein Stück einer Kurve ist, habe ich in Mathe nie gelernt. Zur zweiten Frage müsste man wissen, wo die Krümmung der Straße am größten ist. Maximale Krümmung einer Kurve habe ich auch nie gelernt. Also zwei interessante Fragen: 1. Wie bestimmt man die Länge einer Kurvenstrecke? 2. Wie bestimmt man die Krümmung an einem Punkt der Kurve? In Formelsammlungen nachgeschaut, ist das gar nicht so einfach. 1. Das nennt sich "Bogenlänge" und wird über ein Integral bestimmt, das die erste Ableitung der Funktion enthält. 2. Die Krümmung an einem Punkt hat auch eine recht komplizierte Formel, die die erste und zweite Ableitung enthält. Mal sehen, ob ich das in einer ruhigen Stunde mal ausrechne … Auf jeden Fall was gelernt. 
Alle Kommentare willkommen! |
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| 30.04.2016, 11:05 | adiutor62 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Interessante Aufgabe Warum wurde mein Link gelöscht? 
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| 30.04.2016, 11:15 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Stammt die Aufgabe aus einem Schulbuch ? Falls ja, ist das mit der Bogenlänge natürlich eine mögliche Lösung (aber auch optimal ?) , für Schulmathematik besonders an dieser Stelle am Anfang der Differentialrechnung eher ungeeignet und sicher auch nicht so gewollt. Aufgaben ohne klar formulierte Fragestellungen dienen meist auch eher als Anregung, um die geschilderte Problematik mit eigenen Ideen und Gedanken zu beleuchten bzw. möglichst differenziert zu verinnerlichen - eben genau so, wie du es gerade begonnen hast. Etwas merkwürdig/schwammig finde ich, dass zwar die Position des letzten Baumes erwähnt wird, aber nicht die des ersten. Den Punkt, wo der erste Baum steht, kann man jetzt nur so grob ablesen.
Da eben nur dieser eine Punkt B des letzten Baumes angegeben ist, spricht vieles dafür, dass hier eine Überlegung in Richtung "Tangente an den Graphen von f durch B" stattfinden könnte. Wenn ich das gerade richtig überschlagen habe, kommt da auch was ganz Hübsches (und evtl. so Gewolltes) raus. Den ersten Baum wird diese Tangente jedoch nicht mehr erwischen. Von daher müsste man dann einen "Knick" der Planke an einer geeigneten Übergangsstelle in Kauf nehmen, was aber nun auch nicht viel an der gewünschten "kurzen Länge" ausmachen wird. Edit: Zum Thema "Warum wurde der Link" gelöscht : Wenn ein Beitrag ausschließlich aus einem Link besteht, könnte es auch sein, dass dieser Beitrag (mit Recht) als Spam erkannt wurde. |
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| 30.04.2016, 12:24 | willyengland | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ach so! Also, dass man eine gerade Leitplanke anbringt, die der Tangente durch B folgt? y-Wert der Straße beim Baum: = 5,0625, gerundet 5 Tangentensteigung an dieser Stelle: Nehmen wir an, die Leitplanke soll mit dieser Tangentensteigung durch den Punkt (3|5) gehen, dann ergibt sich für die Tangente: ---------- Die Aufgabe stammt aus dem Schulbuch: "Mathematik Analysis" Jahnke, Wuttke (Hrsg.) Cornelsen 2002 ISBN 978-3-464-57216-0 S. 107 Aufgabe 11 Leider habe ich nirgends Lösungsbücher gefunden. |
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| 30.04.2016, 12:40 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Interessante Aufgabe
@adiutor Kann ich dir leider nicht sagen. Möglicherweise, weil irrtümlich angenommen wurde, dass 'lernhelfer' eine kommerzielle bzw. mit Werbung belastete Seite ist. Ich werde dies eruieren und ggf. den Beitrag wiederherstellen. |
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| 30.04.2016, 12:42 | willyengland | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich habe mal die Krümmung berechnet. Das geht ja dank Geogebra recht einfach, s. Anhang. f ist die Funktion, g und h die 1. und 2. Ableitung. Die blaue Kurve p ist die Krümmung. Davon die erste Ableitung ist die rote Kurve f1. Die stärkste Krümmung hat die Straße also an der Stelle A, x = 2,46. Man sollte also die Leitplanke etwa von x = 2 - 3 anbringen. Nun muss ich noch die zugehörige Streckenlänge ausrechnen. Dazu muss ich aber erst mal rausfinden, wie das Integrieren in Geogebra geht. Später ... |
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| 30.04.2016, 13:25 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das Tangentenproblem (die Tangente soll durch B(3; 4.75) gehen!) löst man, indem der Punkt A1 auf der Kurve angenommen wird und dieser samt seiner Tangente (t1) so lange entlang der Kurve verschoben wird, bis die Tangente durch B geht. [attach]41511[/attach] mY+ |
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| 30.04.2016, 13:49 | willyengland | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@mYthos Ah, ich verstehe! Weil man geradlinig weiter geschleudert wird, ist das der letzte Punkt von dem aus man einen Baum erreichen kann! 
Jetzt muss nur noch der Startpunkt der Leitplanke ermittelt werden. Dazu müsste man dann den ersten Baum schätzen und den Punkt entsprechend nach oben verschieben. Aber das war wohl gar nicht mehr der Zweck der Aufgabe. Weiter oben ist die Straßenkrümmung ja auch sehr gering. Noch eine Frage: Wie macht man das denn in Geogebra, dass die Tangente genau durch den Baumpunkt geht? |
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| 30.04.2016, 13:57 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das habe ich (in GeoGebra) noch nicht versucht. Einfach so lange verschoben, bis die Tangente durch B ging. Sicher wird es eine Möglichkeit für die Inzidenz von B auf t_1 geben, da muss man noch nachlesen ... EDIT: Gibt es offensichtlich nicht .. Du kannst es aber umgekehrt machen, VON B die Tangente AN f(x) legen (Punkt - Strahl). Wenn möglicherweise 'punktfang'* eingeschaltet ist (default=auto), dann kann man den Berührungspunkt (-> Punkt auf Objekt oder Schnittpunkt) genauer ermitteln (?) [ Schneide[f, t, 1] ] [attach]41518[/attach] (*) Ob sich 'punktfang' auch hier auswirkt, muss noch verifiziert werden. Übrigens: Für die Krümmung gibt es in GeoGebra eigene (direkte) Befehle, hier: Krümmung[<Punkt>,<Kurve>] [attach]41517[/attach] Auch hier verschieben wir den Punkt A1 so lange, bis die Krümmung einen Extremwert (-0,44) annimmt. mY+ |
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| 30.04.2016, 16:16 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Interessante Aufgabe
@adiutor Also, wir sind einhellig der Meinung: Warum schreibst du nicht noch einen kleinen Satz dazu? Nur den Link zu posten gefällt uns nicht wirklich. Der Link mag hilfreich sein, aber es ist nur ein Link ohne jeglichen Text. Daher ist der Beitrag in dem Spam gelandet. Gr mYthos |
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| 30.04.2016, 16:21 | adiutor62 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Interessante Aufgabe Danke für den Hinweis. Werde beim nächsten Mal hoffentlich daran denken. 
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| 30.04.2016, 19:17 | willyengland | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sehr gut! Vielen Dank für deine Beiträge! |
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| 01.05.2016, 14:34 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Spaß muß sein
die fast ideale Leitplanke, da mir die vom Gemeinderat empfohlene bzw. geplante tangentiale nicht ganz ideal zu sein scheint |
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| 01.05.2016, 15:48 | willyengland | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
"Zu teuer!"
Maximal genehmigt wird von B4 - B6. |
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