Satz über die implizite Funktion

30.04.2016, 13:25	Polly1310	Auf diesen Beitrag antworten »
Satz über die implizite Funktion Meine Frage: Hallo! Ich habe eine Aufgabe, wo ich mir bei der Argumentation nicht sicher bin. Die Aufgabe lautet: Lässt sich die Gleichung f(x,y)=sin(xy)+cos(x+y)=1 in einer Umgebung von (0,0) nach y auflösen, sodass sich die Lösungsmenge lokal als Kurve h(x)=(x,g(x)) mit x als Kurvenparameter darstellen lässt? Meine Ideen: Ich habe F(x,y):= f(x,y)-1=0 betrachtet und die Voraussetzungen für den Satz über die implizite Funktion angewendet. Es gilt zwar F(0,0)=0 aber die Ableitung von F nach y ist an der Stelle (0,0) gleich Null und nicht ungleich Null, wie es die Voraussetzung für den Satz der impliziten Funktion ist. Nun die Frage: Kann ich daraus folgern, dass es keine auflösende Funktion in der Umgebung von (0,0) gibt. Und wenn nicht, wie muss ich dann vorgehen? Danke!
30.04.2016, 21:38	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke, du kannst so unmittelbar nicht die Folgerung ziehen, daß keine Auflösung existiert. Nimm als Beispiel $\begin{align} G(x,y) = x - y^3 = 0 \end{align}$ . Auch hier ist $\begin{align} G(0,0)=0 \end{align}$ und $\begin{align} \frac{\partial G}{\partial y}(0,0) = 0 \end{align}$ . Dennoch kann man auflösen: $\begin{align} y = g(x) = \sqrt[3]{x} \end{align}$ . Die Graphik zeigt die implizite Kurve $\begin{align} \sin(xy) + \cos(x+y) - 1 = 0 \end{align}$ . Es sieht so aus, als wäre der Ursprung ein isolierter Punkt. [attach]41525[/attach] Folgendes habe ich herausgefunden: Wenn man annimmt, es gäbe in der Umgebung des Ursprungs eine Auflösung $\begin{align} y = f(x) \end{align}$ , und annimmt, daß $\begin{align} f \end{align}$ zweimal differenzierbar ist, dann erhält man $\begin{align} - \left( 1 + y' \right)^2 \cos \left( x + y \right) + \left( 2 y' + x y'' \right) \cos \left( x y \right) - \left( y + x y' \right)^2 \sin \left( x y \right) - y'' \sin \left( x + y \right) = 0 \end{align}$ Und für $\begin{align} x=y=0 \end{align}$ wird daraus $\begin{align} \left( f''(0) \right)^2 = -1 \end{align}$ Das ist aber ein Widerspruch. Also kann eine solche Auflösung nicht existieren. Der Haken an der Argumentation ist die starke Annahme der zweimaligen Differenzierbarkeit. Etwas Besseres ist mir nicht eingefallen.
30.04.2016, 22:05	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man die Taylorreihen nimmt und bis zur Ordnung 2 approximiert, findet man $\begin{align} \sin(xy) + \cos(x+y) - 1 \approx xy - \frac{1}{2} (x+y)^2 = - \frac{1}{2} \left( x^2 + y^2 \right) \neq 0 \ \ \mbox{für} \ \ (x,y) \neq (0,0) \end{align}$ Vielleicht läßt sich dieser Gedanke zu einer sauberen Argumentation ausbauen. EDIT Ja klar! Man zeige, daß $\begin{align} F(x,y) = \sin(xy) + \cos(x+y) - 1 \end{align}$ in $\begin{align} (0,0) \end{align}$ ein lokales Maximum mit dem Wert 0 besitzt.
01.05.2016, 13:42	Polly1310	Auf diesen Beitrag antworten »
In Bezug auf Deine erste Antwort: Wie so kann man nicht die zweimalige stetige Differenzierbarkeit der auflösenden Funktion annehmen? Wenn man annimmt, dass eine auflösende Funktion existiert, dann sagt der Satz der impliziten Funktionen auch, dass die Auflösung stetig differenzierbar ist. Und zu der zweiten Antwort: Mir ist nicht klar, was es bringt, das Maximum zu bestimmen. Was kann ich daraus folgern? Vielen Dank für die ausführlichen Antworten.
01.05.2016, 14:49	Polly1310	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch eine Frage zu der ersten Antwort: Wie kommst Du auf die Gleichung, die Du für den Widerspruch benutzt. Ist das die zweite Ableitung der auflösenden Funktion? Gibt es dafür eine Formel?
01.05.2016, 18:00	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die erste Antwort stellt keinen voll gültigen Beweis dar, eben weil ich die zweimalige Differenzierbarkeit vorausgesetzt habe. Fürs Differenzieren gelten die üblichen Regeln, insbesondere die Kettenregel. Da gibt es also keine "besondere Formel". Wenn man annimmt, daß eine Auflösung $\begin{align} y=f(x) \end{align}$ existiert, kann man die Gleichung $\begin{align} \sin(xy) + \cos(x+y) - 1 = 0 \end{align}$ nach $\begin{align} x \end{align}$ differenzieren. Der Bequemlichkeit halber schreibe ich $\begin{align} y'=f'(x) \end{align}$ . Als Beispiel nehme ich den ersten Summanden $\begin{align} \sin(xy) \end{align}$ (bei $\begin{align} y \end{align}$ mußt du dir $\begin{align} f(x) \end{align}$ denken). Die äußere Funktion ist die Sinusfunktion, die innere ist die Funktion $\begin{align} xy \end{align}$ . Hier ist also die Kettenregel anzuwenden. Die innere Funktion selber ist aber ein Produkt $\begin{align} xy \end{align}$ . Für die Ableitung des Produkts ist die Produktregel anzuwenden. Die Ableitung von $\begin{align} xy \end{align}$ ist daher $\begin{align} 1 \cdot y + x \cdot y' = y + xy' \end{align}$ . Und nach der Kettenregel ist die Ableitung von $\begin{align} \sin(xy) \end{align}$ dann $\begin{align} \left( y + xy' \right) \cdot \cos(xy) \end{align}$ . Entsprechend wird der zweite Summand abgeleitet: $\begin{align} - \left( 1 + y' \right) \cdot \sin(x+y) \end{align}$ . Konstanten verschwinden beim Differenzieren. Daher erhält man, wenn man die obige Gleichung differenziert: $\begin{align} \left( y + xy' \right) \cdot \cos(xy) - \left( 1 + y' \right) \cdot \sin(x+y) = 0 \end{align}$ Und wenn man jetzt mit denselben Methoden nochmals differenziert, erhält man die Gleichung aus meinem ersten Beitrag. Meine zweite Antwort ist die Lösung der Aufgabe. Betrachte die Funktion $\begin{align} F(x,y) = \sin(xy) + \cos(x+y) - 1 \end{align}$ Hier sind $\begin{align} x,y \end{align}$ wieder unabhängige Variablen. Man rechnet nach: $\begin{align} F(0,0) = 0 \end{align}$ . Berechne die partiellen Ableitungen $\begin{align} F_x \end{align}$ und $\begin{align} F_y \end{align}$ nach $\begin{align} x \end{align}$ bzw. $\begin{align} y \end{align}$ und weise nach, daß diese für $\begin{align} (x,y)=(0,0) \end{align}$ auch 0 werden. Weise darüber hinaus nach, daß die Jacobi-Matrix für $\begin{align} (x,y)=(0,0) \end{align}$ negativ definit ist. Dies alles zeigt dir, daß $\begin{align} F \end{align}$ bei $\begin{align} (x,y)=(0,0) \end{align}$ ein strenges Maximum besitzt und dieses den Wert 0 hat. Es gibt daher eine Umgebung von $\begin{align} (0,0) \end{align}$ , in der $\begin{align} F \end{align}$ außer bei $\begin{align} (0,0) \end{align}$ selbst nur negative Werte besitzt (weil ja das Maximum den Wert $\begin{align} F(0,0)=0 \end{align}$ hat). Insbesondere gibt es in dieser Umgebung keine weitere Stelle $\begin{align} (x,y) \end{align}$ mit $\begin{align} F(x,y) = 0 \end{align}$ . Daher ist $\begin{align} (0,0) \end{align}$ ein isolierter Punkt. Das zeigt auch die Graphik aus meinem ersten Beitrag. Sie zeigt alle Lösungen der Gleichung $\begin{align} F(x,y)=0 \end{align}$ als blaue Punkte. Eigentlich müßte auch $\begin{align} (0,0) \end{align}$ blau angemalt sein, denn es gilt ja $\begin{align} F(0,0)=0 \end{align}$ . Aber ein wenig links, rechts, oben oder unten vom Ursprung liefert $\begin{align} F(x,y) \end{align}$ nur negative Werte, wie gerade besprochen. Es gibt also außer dem Ursprung selbst keine weiteren blauen Punkte in der Nähe des Ursprungs. Ein einzelner isolierter blauer Punkt kann aber nicht erkannt und markiert werden. Es gibt sozusagen kein ganzes blaues Stück, das wie ein Funktionsgraph durch den Ursprung läuft. Und das ist ja nichts anderes als zu sagen: $\begin{align} F(x,y) = 0 \end{align}$ kann lokal bei $\begin{align} (0,0) \end{align}$ nicht nach $\begin{align} y \end{align}$ aufgelöst werden.
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