Mengen skizzieren und Konvergenz untersuchen

30.04.2016, 14:34

rüven

Mengen skizzieren und Konvergenz untersuchen

Meine Frage:
Die Aufgaben, die ich bearbeiten muss sind im Anhang.

Meine Ideen:
Hi,
bei den ersten Analysis II Aufgaben, die wir bekommen haben habe ich ein paar Verständnisprobleme.
Ich werde einfach mal zu allen Aufgaben meine Lösungen angeben, Feedback wäre erstmal sehr nett, habe allerdings nicht alle lösen können.
1.1
Hier hab ich einfach die Polynome als binomische Formeln zusammengefasst:
(x-3)²+(y+2)²<=9, -2<=z<1
Ich interpretier das jetzt folgendermaßen, bei P(3|-2) existiert der Mittelpunkt eines Kreises auf der x-y Ebene, dabei sind die Randpunkte Teil der Menge. Dieser Kreis wird aufgespannt auf der z-Ebene von -2 bis 1, wobei die Randpunkte von 1 nicht mehr in der Menge liegen. Somit entsteht ein Zylinder als Körper, die Menge ist offen, da nicht alle Randpunkte Teilmenge der Menge sind und die Menge ist beschränkt, weil es eine Menge C gibt, sodass gilt:
$\begin{eqnarray*} M \subset C \end{eqnarray*}$
Dementsprechend ist die Menge nicht kompakt.
1.2
Hier bin ich mir schon nicht mehr sicher.
Hab nach z umgestellt:
$\begin{eqnarray*} z=y-\frac{x}{2} \end{eqnarray*}$
Es müsste eine Ebene entstehen oder? Aber ich versteh nicht ganz wie ich das zeichnen soll bzw. wo liegen die Randpunkte?
Ich gehe davon aus, dass alle RP (Randpunkte) innerhalb der Menge liegen und damit die Menge abgeschlossen ist, allerdings sollte sie nicht beschränkt sein, weil es keine Grenze der Ebene gibt?
1.3
Da fehlt mir absolut der Ansatz. Muss man hier Fallunterscheidungen machen? Wenn ja kommt man doch auf komplexe Zahlen wegen der -1 bzgl. der Wurzel?

2.1
Beide Komponentenfolgen der Folge müssen konvergieren, damit die Folge konvergiert.
Bei der 2. Komponentenfolge sieht man sofort $\begin{eqnarray*} sin(\frac{12\pi }{k}) \end{eqnarray*}$
ist eine Nullfolge, somit ergibt sich Folge*Nullfolge konvergiert gegen 0.
Der limes der ersten Komponente ergibt sich auch relativ leicht. Sie konvergiert gegen 5, somit konvergieren beide Komponentenfolgen und deswegen auch die Folge.
2.2
Hier bin ich mir nicht sicher, wie man das schreiben kann.
Ich habe die 2. Komponentenfolge, beim Nenner steht $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } arctan(k)-\frac{\pi }{2} \end{eqnarray*}$
arctan konvergiert gegen pi/2 nimmt diesen Wert allerdings niemals an, wodurch sich der Nenner dem Wert 0 annähert aber diesen nie erreicht.
Dadurch divergiert der gesamte Bruch natürlich gegen unendlich, da man durch etwas sehr kleines teilt. Weil die 2. Komponentenfolge divergiert, divergiert auch die Folge.
2.3
2. Komponentenfolge:
Das Integral gebildet muss man folgendes berechnen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty }\left[t²+t-\frac{1}{2}t \right]_{0}^{k} \end{eqnarray*}$
D.h. $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty }\left[t²*(1+\frac{1}{t} -\frac{1}{2t}) \right]_{0}^{k} \end{eqnarray*}$
Divergiert also gegen undendlich, damit divergiert auch die Folge.
2.4
Hab ich nicht lösen können.
Ganz trivial gesagt divergiert bei der ersten Komponentenfolge der Nenner, denn der limes von cosh(k^pi) geht gegen unendlich, wodurch die Komponentenfolge gegen 0 konvergiert.
Die 2 Komponentenfolge konvergiert gegen pi/2
Mein Ansatz:
Umschreiben als
$\begin{eqnarray*} arctan(\lim_{k \to \infty } ln(k*\sqrt{1+\frac{\pi }{k²} }) \end{eqnarray*}$
Der limes von ln gegen unendlich geht auch langsam gegen undenlich, wodurch ja dann arctan gegen pi/2 konvergieren würde...
Letztendlich müsste dann die Folge auch konvergieren.
3.1
Wir haben beschränkt so definiert, dass bspw. eine Menge M sei. Nun muss gelten, dass eine Menge K existiere, sodass gilt $\begin{eqnarray*} M \subset K \end{eqnarray*}$
Allerdings kann ja diese beschränkte Folge periodisch sein, wodurch sie die ganze Zeit hin und herspringt, demnach falsch.
3.2
abgeschlossen und offen haben wir nach Randpunkten definiert. Sprich müsste stimmen, denn wenn das Komplement einer Menge offen wäre, dann wären die RP nicht Element der Menge. Deswegen würden die RP in der Menge liegen, wodurch diese dann abgeschlossen wäre.
3.3
Kein Ansatz, keine Idee.

Bedanke mich schon mal für die kommende Hilfe.

30.04.2016, 14:37

rüven

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Vergessen, bei 1.1 beträgt der Radius des Kreises 3, da 3²=9.

01.05.2016, 00:39

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1.1 Zylinder ist richtig. Die Randpunkte sind dann auch klar - sie fallen mit dem Rand des Körpers zusammen.
Allerdings ist

Zitat:

die Menge ist offen, da nicht alle Randpunkte Teilmenge der Menge sind

falsch.
Sie ist allerdings nicht kompakt, das liegt am fehlenden Deckel.

1.2 Ebene ist richtig. Wie ist denn Randpunkt definiert? Betrachte eine Kugel um einen Punkt der Ebene

1.3 Für welche reellen x,y gilt denn die Ungleichung nicht?

2.1

Zitat:

somit ergibt sich Folge*Nullfolge konvergiert gegen 0.

ist im allgemeinen falsch, wie z.B. $\begin{eqnarray*} n^2\frac 1 n \end{eqnarray*}$ zeigt. Hier rettet dich eine weitere Eigenschaft.

2.2 ok

2.3 schau dir das Integral nochmal an.

2.4 ok

01.05.2016, 16:49

rüven

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Bedeutet das, dass die Grenzen von z nicht zu den Randpunkten gehören?
Dann wäre die Menge ja abgeschlossen, oder ist diese hier weder offen noch abgeschlossen, das erschließt sich mir nicht ganz. Den Rest habe ich mittlerweile hinbekommen, danke für die Hilfe smile

01.05.2016, 17:39

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Der Zylinder ist weder offen noch abgeschlossen.

01.05.2016, 18:11

rüven

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Alles klar, das hab ich mir schon gedacht. Danke für deine Hilfe.

01.05.2016, 18:15

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Gern

Allerdings solltest du m.E solche Megaposts wie deinen ersten vermeiden. Ich fand es ziemlich umständlich, darauf zu antworten. Kleinere posts mit nur einer Aufgabe sind leichter verdaulich. Bei mehreren posts erhöht sich zudem die Chance, dass jemand für den einzelnen Teil eine gute Antwort hat.

01.05.2016, 18:17

rüven

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Ok! Das merk ich mir für zukünftige Fragen Freude

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