Lineare Un/Abhängigkeit von Vektoren mit Parameter

Neue Frage »

ThomasBerlin Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Un/Abhängigkeit von Vektoren mit Parameter
Meine Frage:
Ich habe folgende Vektoren gegeben und soll sagen wie a gewählt werden muss, dass die Vektoren linear unabhängig sind.




Meine Ideen:
So habe ich angefangen:



Dann komme mit Gaußalgorithmus auf folgende Form:



Stimmt das und wenn ja, was sag mir darüber aus wie mein Parameter gewählt werden muss, damit lineare Unabhängigkeit erfüllt ist?
trxre Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast angesetzt mit: r * vektor1 + s * vektor2 = vektor3. Das ist die Bedingung für 3 linear abhängige Vektoren. Dementsprechend suchst du mit deiner Matrix einen Wert für a, bei dem diese abhängig sind. Wenn du dein a hast. Welche Werte können dann bei der Unabhängigkeit gelten?

Zu deiner Matrize: Es gibt einen deutlich einfacheren Weg. Schau dir einfach deine unterste Zeile deiner oberen Matrize an und sag mir den Vorfaktor des ersten Vektors.
ThomasBerlin Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Un/Abhängigkeit von Vektoren mit Parameter
Bei der untersten Zeile ist der Vorfaktor des ersten Vektors zwei, da 2*4 +s*0 =8 ergibt.
trxre Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Damit hast du jetzt schon den einen Faktor und damit nur noch 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten, die du lösen musst:
--> 2*a+1*s=0
--> 2*1+a*s=-1
Indem du jetzt die 1. geschickt in die 2. einsetzt, hast du nun direkt deine Lösung für die Variablen!
ThomasBerlin Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Un/Abhängigkeit von Vektoren mit Parameter
Da bekomme ich raus :



Und für dieses a sind sie dann linear abhängig, also für alle anderen a lin. unabhängig?
trxre Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt noch dies Lösung

Ja, bei allen anderen Werten kannst du den 3.Vektor nicht durch die anderen beiden ausdrücken -> linear unabhängig
 
 
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Dann komme mit Gaußalgorithmus auf folgende Form:



Das war ebenso fast richtig, nur in der letzten Zeile muss es 8a³-12a lauten (evtl Vorzeichenfehler).
Vorsichtig nur, wenn man eine Zeile mit einem von a abhängigen Faktor f(a) multipliziert.
Der Fall f(a)=0 muss anschließend nochmal separat betrachtet werden, denn eine Multiplikation mit 0 ist keine Äquivalenzumformung.
Bei deinem Ansatz würde ansonsten eine falsche Lösung entstehen.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »