Imaginäre Zahlen - Habe ich richtig gerechnet?

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26.08.2004, 22:25	Gast	Auf diesen Beitrag antworten »
Imaginäre Zahlen - Habe ich richtig gerechnet? Hallo, mir ist eine Aufgabe von vor vielen Jahren wieder eingefallen, von der ich nur behalten hatte, das deren Lösung irgendwie unerwartet / ungewöhnlich war, so dass ich mich jetzt noch einmal versucht habe: Mit i=Wurzel(-1) erhalte ich für i^i (also i hoch i) das Ergebnis 0,20788 angenähert Meine Frage ist nun, ist das richtig, und kann das jemand bestätigen ? Danke
26.08.2004, 22:45	Irrlicht	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist richtig. Guckst du hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Identität Lieben Gruss, Irrlicht
27.08.2004, 02:59	Andrew Wiles	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Imaginäre Zahlen - Habe ich richtig gerechnet? Bleibt noch die Wiles'sche Konstante zu erwähnen, die ich während meiner Forschung etwa 2002 herum entdeckt habe $\begin{eqnarray} \sqrt[i]{i} = 4.8104773809... \end{eqnarray}$
27.08.2004, 12:02	Philipp-ER	Auf diesen Beitrag antworten »
Auch $\begin{eqnarray} \frac{1}{i^i} \end{eqnarray}$ genannt. Es ist noch zu bemerken, dass i^i eigentlich für unendlich viele Zahlen steht und nur unter Verwendung des Hauptwertes des komplexen Logarithmus' gerade das auf wikipedia vermerkte Ergebnis herauskommt.
27.08.2004, 21:28	SirJective	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, Philipp. Hab deine Anmerkung direkt in den Artikel integriert. (Hättste übrigens auch selbst machen können und dürfen. )
27.08.2004, 22:02	Philipp-ER	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok SirJective. Die Herleitung dort gefällt mir sowieso überhaupt nicht, es wird einfach $\begin{eqnarray} \exp(a)^i=\exp(i\cdot a) \end{eqnarray}$ verwendet, eine Identität, die, soweit ich weiß, gar nicht immer richtig ist. (Also $\begin{eqnarray} (a^z)^n=a^{z\cdot n} \end{eqnarray}$ gilt, soweit ich weiß, im allgemeinen nur ganze n. Ist es vielleicht mit a=e eine allgemeingültige Identität?) Vielleicht sollte ich eine andere Herleitung schreiben?
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27.08.2004, 22:20	SirJective	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Herleitung hatte ich von http://en.wikipedia.org/wiki/Imaginary_unit kopiert. Dort steht inzwischen: In fact, it is easy to determine that i^i has an infinite number of solutions in the form of $\begin{eqnarray} i^{i} = e^{-\pi / 2 + 2 \pi N} \end{eqnarray}$ where N is any integer. Die Gleichung exp(a)^b = exp(ab) gilt ebenfalls nicht allgemein. Die rechte Seite ist ein möglicher Wert der linken Seite. Alle möglichen Werte der linken Seite sind (wenn ich richtig rechne) gegeben durch $\begin{eqnarray} \exp(a)^b = \exp(b \ln(\exp(a))) = \exp(b (a+2 \pi N i)) \end{eqnarray*}$ für alle ganzen N. Wenn du magst, kannst du die Herleitung in dieser Richtung präzisieren. Gruss, SirJective
28.08.2004, 11:43	Philipp-ER	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe mir mal erlaubt, das neu zu schreiben und zwar ohne Verwendung von exp(x)^i=exp(i*x). Kannst du mal drüber schauen und mir sagen, warum manche Sachen so unglaublich klein geschrieben werden? Das kann man ja kaum lesen.
28.08.2004, 14:18	Irrlicht	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Philipp, die so unglaublich klein geschriebenen Formeln werden als HTML gerendert, die grafischen Formeln sind im display-Style und damit riesig. Die Erklärungen, die du hinzugefügt hast, sind sehr willkommen, sollten jedoch eher in den Artikel über Potenz, da sie dort noch fehlen (Link im Artikel), so dass sich der "i^i"-Abschnitt speziell auf diese Potenz konzentrieren kann. Liebe Grüsse, Irrlicht

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