Lucas Folge

30.04.2016, 15:52

Duosan

Lucas Folge

Sei $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ . Die Folge $\begin{eqnarray*} (L_n)_{n\in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ ist definiert durch $\begin{eqnarray*} L_0:=0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} L_1:=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} L_n:=a\cdot L_{n-1} - L_{n-2} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ .

Zu zeigen: $\begin{eqnarray*} L_{2n} = a\cdot L_{n}^2 - 2\cdot L_{n} \cdot L_{n-1} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} L_{2n+1} = L_{n+1}^2 - L_{n}^2 \end{eqnarray*}$ .

Eigentlich sollte das ganze nicht so schwierig sein aber irgendwie bekomme ich es nicht hin.

Ich wollte das ganze mit Induktion beweisen:

IA: $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L_{2} = a\cdot L_{n}^2 - 2\cdot L_{1} \cdot L_{0} = a \end{eqnarray*}$ .

Das passt also.

IS: $\begin{eqnarray*} n\to n+1 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} L_{2(n+1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = L_{2n+2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = a \cdot L_{2n+1} - L_{2n} \end{eqnarray*}$

...

Aber ich bekomme niemals diese $\begin{eqnarray*} L_{2n+1} \end{eqnarray*}$ usw. raus. Es ist zwar möglich nochmal die IV anzuwenden wenn man $\begin{eqnarray*} L_{2n+1} \end{eqnarray*}$ durch die rekursive definintion umschreibt, aber dann kommt man irgendwann auf $\begin{eqnarray*} a^3 \end{eqnarray*}$ und die bekommt man einfach nicht mehr raus. Außerdem bleibt dennoch etwas wie $\begin{eqnarray*} L_{2n-1} \end{eqnarray*}$ übrig.

Übersehe ich hier etwas wichtiges oder kann man die Aufgabe mit dem Ansatz einfach nicht lösen? verwirrt

$\begin{eqnarray*} = a\cdot L_{2n+1} - (a\cdot L_{n}^2 - 2L_{n}\cdot L_{n-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =a\cdot L_{2n+1} - a\cdot L_{n}^2 + 2L_{n}\cdot L_{n-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =-a\cdot L_{n}^2 + 2L_{n}\cdot L_{n-1} + a\cdot L_{2n+1} \end{eqnarray*}$

30.04.2016, 16:03

Duosan

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Sei $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ . Die Folge $\begin{eqnarray*} (L_n)_{n\in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ ist definiert durch $\begin{eqnarray*} L_0:=0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} L_1:=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} L_n:=a\cdot L_{n-1} - L_{n-2} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ .

Zu zeigen: $\begin{eqnarray*} L_{2n} = a\cdot L_{n}^2 - 2\cdot L_{n} \cdot L_{n-1} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} L_{2n+1} = L_{n+1}^2 - L_{n}^2 \end{eqnarray*}$ .

Eigentlich sollte das ganze nicht so schwierig sein aber irgendwie bekomme ich es nicht hin.

Ich wollte das ganze mit Induktion beweisen:

IA: $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L_{2} = a\cdot L_{n}^2 - 2\cdot L_{1} \cdot L_{0} = a \end{eqnarray*}$ .

Das passt also.

IS: $\begin{eqnarray*} n\to n+1 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} L_{2(n+1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = L_{2n+2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = a \cdot L_{2n+1} - L_{2n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = a\cdot L_{2n+1} - (a\cdot L_{n}^2 - 2L_{n}\cdot L_{n-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =a\cdot L_{2n+1} - a\cdot L_{n}^2 + 2L_{n}\cdot L_{n-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =-a\cdot L_{n}^2 + 2L_{n}\cdot L_{n-1} + a\cdot L_{2n+1} \end{eqnarray*}$

...

Aber ich bekomme niemals diese $\begin{eqnarray*} L_{2n+1} \end{eqnarray*}$ usw. raus. Es ist zwar möglich nochmal die IV anzuwenden wenn man $\begin{eqnarray*} L_{2n+1} \end{eqnarray*}$ durch die rekursive definintion umschreibt, aber dann kommt man irgendwann auf $\begin{eqnarray*} a^3 \end{eqnarray*}$ und die bekommt man einfach nicht mehr raus. Außerdem bleibt dennoch etwas wie $\begin{eqnarray*} L_{2n-1} \end{eqnarray*}$ übrig.

Übersehe ich hier etwas wichtiges oder kann man die Aufgabe mit dem Ansatz einfach nicht lösen? verwirrt

Edit: So sollte es aussehen. Da ist mir wohl leider etwas verrutscht.

30.04.2016, 18:12

HAL 9000

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Beweise die allgemeinere Eigenschaft:

Zitat:

Für alle $\begin{align*} m,n\geq 0 \end{align*}$ gilt $\begin{align*} L_{m+n+1} = L_{m+1}L_{n+1}-L_mL_n \end{align*}$

Dann sind deine beiden Behauptungen einfache Folgerungen daraus: Die erste mit $\begin{align*} m=n-1 \end{align*}$ , die zweite mit $\begin{align*} m=n \end{align*}$ .

02.05.2016, 20:59

Duosan

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Leider hat mich der Tipp nicht wirklich weitergebracht.
Die aussage stimmt auch nicht, denn in meiner Folge kommt noch ein a vor.

Trdm. danke

02.05.2016, 22:27

Leopold

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Zitat:

Original von Duosan
Leider hat mich der Tipp nicht wirklich weitergebracht.

Sagen wir so: du konntest ihn nicht umsetzen. Das ist etwas anderes als zu behaupten, der Tip sei nicht hilfreich gewesen, wonach das "nicht wirklich weitergebracht" ein bißchen klingt.
Wenn du einen Anstoß brauchst, dann frage nach.

Zitat:

Original von Duosan
Die aussage stimmt auch nicht, denn in meiner Folge kommt noch ein a vor.

Die Aussage stimmt. Mit derselben fehlerhaften Argumentation könntest du ebenso behaupten, daß $\begin{align*} L_{2n+1} = {L_{n+1}}^2 -{L_n}^2 \end{align*}$ nicht stimmt, denn da kommt ja auch kein $\begin{align*} a \end{align*}$ vor. Trotzdem sollst du gerade das beweisen.

02.05.2016, 22:49

HAL 9000

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Zitat:

Original von Duosan
Die aussage stimmt auch nicht, denn in meiner Folge kommt noch ein a vor.

Der Weg von $\begin{align*} L_{2n} = L_nL_{n+1} - L_nL_{n-1} \end{align*}$ zu $\begin{align*} L_{2n} = aL_n^2 - 2L_nL_{n-1} \end{align*}$ ist nicht sonderlich lang - tatsächlich ist nur in die erste Gleichung $\begin{align*} L_{n+1} = aL_n - L_{n-1} \end{align*}$ einzusetzen, schon hat man es. Trotzdem danke fürs Durchlesen. Wink

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