Beweis: f(x) ist harmonische Fkt.

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Aricade Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis: f(x) ist harmonische Fkt.
Meine Frage:
Hallo :-)

Ich habe folgende Aufgabe:

Sei . Zu sei definiert. Sei gegeben durch falls , beziehungsweise falls . Zeigen Sie: ist harmonisch, d.h.



Meine Ideen:
Für den Fall n=2 habe ich bereits überprüft, dass der LaPlace-Operator auf die Funktion angewandt Null ergibt.

Für den Fall n > 2 habe ich ein bisschen gerechnet, ich komme aber leider nicht auf das Ergebnis. Ich denke, dass ich irgendwo einen Denkfehler gemacht habe und wäre froh um jede Hilfe. Mein bisheriger Ansatz:

Fall 2: n > 2


Es gilt: mit













Ab hier komme ich leider nicht mehr weiter.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Aricade
Zeigen Sie: ist harmonisch, d.h.

Auwei... sicher meinst du .
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Und auch Nabla und Laplace gehen bei dir irgendwie durcheinander. Du schreibst zum Beispiel beim Nabla-Operator die Definition des Laplace-Operators hin. Lassen wir den ganzen Operatorenwust und rechnen wir direkt.

Einmaliges partielles Differenzieren nach ergibt



Jetzt nochmals nach differenzieren:



Ich hoffe, ich habe das richtig gerechnet. Rechne es nach.

Um nun zu zeigen, daß ist, genügt es,



zu zeigen, denn die von unabhängigen Vorfaktoren spielen für das Verschwinden des Ausdrucks keine Rolle.

EDIT
Schreibfehler beim Differentialoperator ausgebessert.
Aricade Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Zitat:
Original von Aricade
Zeigen Sie: ist harmonisch, d.h.

Auwei... sicher meinst du .


Oh.. Ja meinte ich natürlich, war leider ziemlich müde als ich die ganzen Latex-Formeln hingeschrieben habe... Danke für den Hinweis!
Aricade Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Und auch Nabla und Laplace gehen bei dir irgendwie durcheinander. Du schreibst zum Beispiel beim Nabla-Operator die Definition des Laplace-Operators hin. Lassen wir den ganzen Operatorenwust und rechnen wir direkt.

Einmaliges partielles Differenzieren nach ergibt



Jetzt nochmals nach differenzieren:



Ich hoffe, ich habe das richtig gerechnet. Rechne es nach.

Um nun zu zeigen, daß ist, genügt es,



zu zeigen, denn die von unabhängigen Vorfaktoren spielen für das Verschwinden des Ausdrucks keine Rolle.


Vielen Dank! Ich werde das ganze jetzt noch einmal so durchrechnen und mich dann nochmal melden! Noch eine Frage zum LaPlace und Nabla-Operator. Ist es nicht so, dass der LaPlace-Operator der zweimaligen Anwendung des Nabla-Operators entspricht? Oder habe ich das falsch verstanden?
Aricade Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Einmaliges partielles Differenzieren nach ergibt




Ich glaube ich habe schon dort etwas falsch verstanden. Ich bekomme bei der ersten partiellen Ableitung nach :



Muss ich den im Exponenten nicht nur bei jeder Ableitung um 1 subtrahieren und dann den vorherigen Exponenten als Koeffizienten der Basis schreiben?
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein - schreib es mal richtig aus: Es ist

,

demnach ist

,

genau wie Leopold es geschrieben hat. Oder du berechnest einmalig



und wendest dann die Kettenregel an

.
Aricade Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Nein - schreib es mal richtig aus: Es ist

,

demnach ist

,

genau wie Leopold es geschrieben hat. Oder du berechnest einmalig



und wendest dann die Kettenregel an

.


Achsooo Big Laugh Vielen Dank, ich brauche bei Analysis oftmals etwas länger, um es zu begreifen. Vielen Dank euch beiden, ich schätze eure Hilfe sehr! Ein sehr schönes Wochenende wünsche ich euch noch smile
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Oder du berechnest einmalig



und wendest dann die Kettenregel an


Das ist hier wohl das günstigere Vorgehen. Denn fürs nochmalige Differenzieren kann man das erneut verwenden.
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