Mehrdimensionalen Grenzwert berechnen

01.05.2016, 10:21	Dani96	Auf diesen Beitrag antworten »
Mehrdimensionalen Grenzwert berechnen Meine Frage: Hallo alle, bei uns in der Vorlesung werden in letzter Zeit oft Grenzwerte mehrdimensionaler Funktionen berechnet, aber wir haben nie darüber gesprochen und ich weiß nicht, wie man da vorgehen muss. Ich habe versucht, mich darüber zu informieren, und bin im Rahmen dessen auf folgende Aufgabe gestoßen: Man soll zeigen, dass die folgende Funktion im Punkt $\begin{eqnarray} (0,0) \end{eqnarray}$ nicht stetig ist. $\begin{eqnarray} f(x,y) = \left\{\begin{array}{ll}\displaystyle\frac{4xy(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2},\qquad\text{für}\quad (x,y) \not= (0,0)\\0,\qquad\qquad\qquad\qquad\text{für}\quad (x,y)=(0,0)\end{array}\right. \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Dazu muss ich zeigen, dass $\begin{eqnarray} \lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y) \not= f(0,0) = 0 \end{eqnarray}$ . Nun weiß ich aber nicht, wie das geht, da wir hier eine Funktion mehrerer Variablen haben. Ich hoffe, mir kann hier jemand erklären, wie das funktioniert.
01.05.2016, 19:08	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mehrdimensionalen Grenzwert berechnen Dann mach eine Funktion einer Variablen daraus: y=y(x), z.B. y=x
01.05.2016, 19:26	Dani96	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mehrdimensionalen Grenzwert berechnen Danke für deine Antwort Kann ich mir prinzipiell die Funktion aussuchen oder muss ich dabei was Bestimmtes beachten? Wenn ich jetzt $\begin{eqnarray} x=y \end{eqnarray}$ wähle, erhalte sich ja $\begin{eqnarray} \lim_{(x,y=x)\to (0,0)} \frac{4x^2(x^2-x^2)}{4x^4} = 0 = f(0,0) \end{eqnarray}$ , oder? Das würde ja bedeuten, dass die Funktion an der Stelle $\begin{eqnarray} (0,0) \end{eqnarray}$ stetig ist, aber wir sollen zeigen, dass sie das gerade nicht ist. Ich muss also etwas übersehen.
01.05.2016, 19:29	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mehrdimensionalen Grenzwert berechnen Wenn du die Unstetigkeit zeigen willst, musst du dir natürlich eine geeignete Funktion suchen. Mein Beispiel ist dafür absichtlich nicht geeignet
01.05.2016, 20:04	Dani96	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mehrdimensionalen Grenzwert berechnen Ok, das ergibt Sinn Wenn ich nun z.B. $\begin{eqnarray} y=\frac 12 x \end{eqnarray}$ wähle, dann erhalte ich $\begin{eqnarray} \lim_{(x,\frac 12 x)\to (0,0)} f(x,y) = \frac{24}{25} \not= 0 = f(0,0) \end{eqnarray}$ . Ist das so legitim?
01.05.2016, 20:12	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mehrdimensionalen Grenzwert berechnen
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01.05.2016, 20:15	Dani96	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mehrdimensionalen Grenzwert berechnen Perfekt, danke Noch eine Frage in dem Zusammenhang: Wie beweise ich denn, dass eine Funktion an einem Punkt stetig ist? Dann reicht es ja nicht aus, einfach eine Funktion $\begin{eqnarray} y=y(x) \end{eqnarray}$ zu wählen, sondern ich müsste zeigen, dass der Grenzwert für alle solche Funktionen gleich dem Funktionswert ist. Wie gehe ich dann vor?
01.05.2016, 20:22	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mehrdimensionalen Grenzwert berechnen Das hängt stark von der betrachteten Funktion ab. Ein Pauschalrezept gibt es da nicht.
01.05.2016, 20:40	Dani96	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mehrdimensionalen Grenzwert berechnen Ok, ich werd einfach mal schauen, wann mir sowas begegnet. Danke für die Hilfe

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