Länge von Moduln

01.05.2016, 12:56

Shalec

Länge von Moduln

Nicht von der Länge des Textes abschrecken lassen. Ich habe extra eine Strukturierung vorgenommen um die wichtigsten Teile abzutrennen.

Hallo allerseits,
ich beschäftige mich derzeit mit dem Begriff der Länge eines Moduls. Als Beispiel dafür habe ich folgende Strukturen betrachtet.
(Als Definition genügt die von Wikipedia: https://de.wikipedia.org/wiki/L%C3%A4nge_(Algebra) )

$\begin{eqnarray*} R=\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ und die R-Moduln $\begin{eqnarray*} M_n = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ für n=5,6,12

Ich habe 2 Frage:

Sind meine Betrachtungen soweit korrekt?
Gibt es ein Kriterium, womit ich die Länge eines Moduls direkt berechnen kann? Das Kettenbilden ist in großen Strukturen sehr mühselig.

modulo p, p prim
Dabei ist mir Aufgefallen, dass jedes Modul dieser Art, für das n prim ist, die Länge 1 hat. Dies habe ich mir zunächst so begründet:
Sei p prim. Dann ist $\begin{eqnarray*} p\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ein maximales Ideal in R und folglich $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ein Körper.

edit:
Da $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ein Körper ist, sind die einzigen Ideale {0} und $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ . Folglich ist $\begin{eqnarray*} l\left( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \right) =1, \end{eqnarray*}$ denn die längste Kette von Moduln, die ich bilden kann, ist: $\begin{eqnarray*} <0>\subsetneq \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ .

modulo 6
Nun zum Beispiel $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ . Die Ideale hier sind:
$\begin{eqnarray*} <1> = <5> = \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ (Kann man i.A. sagen, dass $\begin{eqnarray*} <a> = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ , wenn a koprim zu n ist?
$\begin{eqnarray*} <2> = \{0,2,4\}=<4>,\quad <3>=\{0,3\} \end{eqnarray*}$
Es ist also die längste Kette $\begin{eqnarray*} <0> \subsetneq <2> \subsetneq \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ aber auch $\begin{eqnarray*} <0> \subsetneq <3> \subsetneq \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

modulo 12
Bei $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/12\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ sieht das anders aus.
Hier sind die Ideale $\begin{eqnarray*} <1>=<5>=<7>=<11>=\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}, <3>=<9>=\{0,3,6,9\}, <2>=<10>=\{0,2,4,6,8,10\}, <4>=<8>=\{0,4,8\} und <6>=\{0,6\}. \end{eqnarray*}$
Die längste Kette, die ich hier bilden kann, ist:

$\begin{eqnarray*} <0>\subsetneq <4> \subsetneq <2> \subsetneq \mathbb{Z}/12\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ oder
$\begin{eqnarray*} <0>\subsetneq <6> \subsetneq <3> \subsetneq \mathbb{Z}/12\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ .

Sie wird nicht Länger, da ich keine echten Ideale mehr einfügen kann. Also ist $\begin{eqnarray*} l\left( \mathbb{Z}/12\mathbb{Z} \right) = 3 \end{eqnarray*}$ .
Hier wird schon ersichtlich, dass es aber bei großen n blöd wird, alle Ideale in der Form zu notieren. Daher meine Frage 2)

Auffällig, nur Zufall?
Auffällig ist es, dass jede Kette die Länge entsprechend der Anzahl der Primteiler hat. D.h.
l(Z/6Z)=2, und $\begin{eqnarray*} 6=2\cdot 3 \end{eqnarray*}$
l(Z/12Z) = 3 und $\begin{eqnarray*} 12=2\cdot2\cdot 3 \end{eqnarray*}$

modulo n, für eine natürliche Zahl n
Eine Verallgemeinerung ist sicherlich auch möglich. Dazu habe ich mir nur noch keine Gedanken gemacht.

03.05.2016, 09:38

Shalec

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Da ich hier von Z-Moduln rede, sind die Untermodule gerade die Untergruppen von Z. Hat das dann was mit den p-sylow-Sätzen zu tun?

03.05.2016, 13:16

Elvis

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$\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ - Moduln sind genau die abelschen Gruppen. Es gilt der Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen: https://de.wikipedia.org/wiki/Hauptsatz_...belsche_Gruppen

Ob damit deine Fragen alle beantwortet sind, weiß ich nicht, aber es lohnt sich sicher, diesen Hauptsatz zu studieren.

03.05.2016, 20:08

Shalec

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Zitat:

Original von Elvis
$\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ - Moduln sind genau die abelschen Gruppen. Es gilt der Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen: https://de.wikipedia.org/wiki/Hauptsatz_...belsche_Gruppen

Ob damit deine Fragen alle beantwortet sind, weiß ich nicht, aber es lohnt sich sicher, diesen Hauptsatz zu studieren.

Ah, sehr toll. Ich hatte sowas in der Art noch in der Erinnerung. Wenn ich hier nun die Länge drauf anwende, gilt dann sowas wie
$\begin{eqnarray*} G\tilde{=} Z/p_1Z \oplus...\oplus Z/p_nZ \ \overset{?}{\Rightarrow}\ l(G) = \sum\limits_{k=1}^{n} l(Z/p_kZ) \end{eqnarray*}$
für Primzahlen p_i? (laut einem Buch, dass ich auf die Schnelle über Google gefunden habe [Einführung in die kommutative Algebra] gilt dies) Mir erscheint es intuitiv klar, aber eine exakte Begründung fehlt mir atm.

Ich meine mich sogar daran zu erinnern, dass aus dem chinesischen Restsatz folgt, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \tilde{=} \mathbb{Z}/p_1\mathbb{Z} \oplus ... \oplus \mathbb{Z}/p_m\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ gilt.

Viele Grüße und Danke

04.05.2016, 11:28

Elvis

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Es müssen nicht nur Primzahlen oder Primzahlpotenzen auftreten, sondern eine geordnete Kette von Teilern von n. Die Länge des $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ -Moduls ist dann die Länge der Kette. Siehe Hauptsatz (genau verstanden habe ich den auch noch nicht, jedenfalls nicht, wie und wo man den überall anwenden kann).

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