Erzeugermatrizen

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Pumuckl122 Auf diesen Beitrag antworten »
Erzeugermatrizen
Hallo! Ich würde mich über einen Hinweis, wie ich diese Aufgabe angehen soll, freuen:

Es ist zu zeigen, dass die spezielle lineare Gruppe (Determinante gleich Eins), von den beiden Matrizen

und

ezeugt wird.

Danke!
Pumuckl122 Auf diesen Beitrag antworten »

Durch Internet-Recherche habe ich bei einem ganz ähnlichen Problem einen Tipp gelesen: Welche Zeilen- und Spaltenumformungen brauchst du, um eine Matrix aus SL(2,K) in die Einheitsmatrix zu verwandeln?

Leider wurde die Lösungsdiskussion dann nicht mehr weiter geführt. Inwiefern helfen mir diese Umformungen?
 
 
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Ich vermute es ist folgendes gemeint: Du kannst ein Element M aus SL(2,K) durch elementare Zeilen- und Spaltenumformungen in die Einheitsmatrix transformieren. Also kannst du umgekehrt die Einheitsmatrix durch elementare Zeilen und Spaltenumformungen in M transformieren.
Jetzt bleibt zu überlegen, dass sich mit den angegebenen Matrizen gerade die benötigten Zeilen- und Spaltenumformungen realisieren lassen.
Pumuckl122 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mir angesehen, welche Spalten- und Zeilenumformungen notwendig sind und kann diese durch Multiplikation mit Elementarmatriten erklären, die sich aus den beiden angegeben Matrizen ergeben. Dazu muss ich aber die Matrizen teilweise mehrmals multiplizieren und addieren, ist das hier erlaubt?

Beispielsweise liefert

also die Matrix, die es erlaubt, die erste Zeile mit dem Skalar zu multiplizieren.
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Mehrfach multiplizieren ist ok. Addition ist allerdings in der SL(2) nicht definiert. Außerdem wäre die von dir berechnete Matrix gar nicht in SL(2), wenn t ungleich 1 ist.
Pumuckl122 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber dann scheint es unmöglich zu sein, mit den Zeilen- und Spaltenumformungen zu argumentieren, weil ich dazu solche Matrizen brauche, die nicht zwingenderweise Det=1 haben.
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Setze und
Berechne mal . Wenn ich mich nicht verrechnet habe, sollte das helfen.
Pumuckl122 Auf diesen Beitrag antworten »

Das hilft sehr viel, ja!

Deine Matrix gehört klarerweise zur speziellen linearen Gruppe und man kann jede Matrix mit Det=1 in die Gestalt deiner Matrix bringen, indem man r,s,t durch a,b,c,d ausdrückt! Haut hin!

Danke!
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Oder so: Für bekommt man und das beschreibt die noch fehlende Umformung.
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