Eigenschaft von Polynomen

Neue Frage »

Pumuckl122 Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenschaft von Polynomen
Hallo! Ich stehe bei folgender Aufgabe an und würde mich über Hinweise zur Lösung freuen!

Sei ein reelles Polynom vom Grad und . Zeige, dass dann für alle gilt, dass
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachte .

Dann ist konstant (Beweis durch Induktion über möglich). Aus den Voraussetzungen folgt , und daraus mittelbar dann auch die Behauptung.
Pumuckl122 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antwort. Ich habe mir deinen Hinweis gründlich angesehen und leider ist mir noch nicht alles klar!

1) Induktion nach : Im Prinzip habe ich hier den letzten Summanden extra angeschrieben und dann den Binomialkoeffizient gemäß der Rekursiven Darstellung aufgespalten. Schließlich habe ich den extra-Term und eine Summe zusammengefügt und komme auf



Die erste Summe ist laut Induktionsvoraussetzung konstant, aber kann man das auch für die zweite sagen oder habe ich mich wo verrechnet?

2) Dass dann sein muss, ist mir klar

3) Ist es zulässig, wenn man argumentiert, dass man zuerst nimmt, dann muss nämlich , damit . Dasselbe gilt für usw. Oder hast du an eine andere Möglichkeit gedacht?

PS: Wie bist du denn auf dieses etwas abstruse gekommen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pumuckl122
1) Induktion nach : Im Prinzip habe ich hier den letzten Summanden extra angeschrieben und dann den Binomialkoeffizient gemäß der Rekursiven Darstellung aufgespalten. Schließlich habe ich den extra-Term und eine Summe zusammengefügt und komme auf


Ich nehme an, du redest vom Induktionsschritt und hast die besagte Summe für dann so umgeformt? Dann ist zwar diese Umformung richtig, aber die erste Summe ist für das hier dann betrachtete Polynom vom Grad nicht konstant. unglücklich
Du musst zunächst noch "zusammenfügen":

für

Der Polynomgrad von ist um genau eins niedriger als der von , d.h. Grad , also kann auf die Induktionsvoraussetzung angewandt werden...


Zitat:
Original von Pumuckl122
PS: Wie bist du denn auf dieses etwas abstruse gekommen?

Standardwissen über solche "iterierten" Differenzen - kommt üblicherweise vor bei der Polynominterpolation.


Zitat:
Original von Pumuckl122
3) Ist es zulässig, wenn man argumentiert, dass man zuerst nimmt, dann muss nämlich , damit . Dasselbe gilt für usw.

Genauso: Die obige Formel liefert als "Nebenprodukt", dass ganzzahlig ist, wenn die letzten Werte vorher auch ganzzahlig sind, also . Auf die Weise hangelt man sich per Induktion durch alle .

Dasselbe geht aber auch "nach unten", d.h., in Richtung negativer . Auf die Weise erfasst man alle .
Pumuckl122 Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt hab' ich's, vielen Dank!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Es sei noch angemerkt, dass solche Polynome keinesfalls nur ganzzahlige Koeffizienten haben dürfen. So erfüllt z.B. die Voraussetzung für .
 
 
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »