Satz v. Riesz-Schauder - Norm O.b.d.A.

02.05.2016, 10:31	r4ndom19	Auf diesen Beitrag antworten »
Satz v. Riesz-Schauder - Norm O.b.d.A. Hallo, ich verstehe beim Satz von Riesz Schauder ein o.B.d.A. nicht. Sei X ein BR und es gelte: $\begin{eqnarray} T \in K(X) \lambda \neq 0 \end{eqnarray}$ dann ist $\begin{eqnarray} R(T-\lambda Id) \end{eqnarray}$ abgeschlossen. (K(X) sei der Raum der kompakten linearen und stetigen Operatoren auf X) Wie man erwarten würde wird dann eine Folge $\begin{eqnarray} x_n \end{eqnarray}$ auf X betrachtet. Dann heißt es nun man könne o.E. annehmen, dass: $\begin{eqnarray} \|\|x_n\|\| \leq 2dist(x_n, ker(T-\lambda)) \end{eqnarray}$ Ich verstehe das nicht so ganz, da man ja letztlich nicht weiß wie der kern von T-lambda aussieht. Der Abstand zum kern mag ja gering sein. Dennoch kann der Abstand zum Nullpunkt riesig sein.
02.05.2016, 10:41	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, für die Konvergenz der Folge $\begin{eqnarray} (T-\lambda)x_n \end{eqnarray}$ und deren Grenzwert macht es überhaupt keinen Unterschied, ob man noch eine Folge dazuaddiert, die im Kern liegt. Das heißt, wenn ich statt $\begin{eqnarray} (x_n) \end{eqnarray}$ die Folge $\begin{eqnarray} (x_n+k_n) \end{eqnarray}$ betrachte, wobei $\begin{eqnarray} k_n \end{eqnarray}$ im Kern liegt, so erhalte ich dennoch die selbe Bildfolge $\begin{eqnarray} (T-\lambda)(x_n+z_n)=(T-\lambda)x_n \end{eqnarray}$ . Das heißt, ich kann mir statt der gewählten Folge $\begin{eqnarray} (x_n) \end{eqnarray}$ für jedes Folgenglied stattdessen irgendein Element aus $\begin{eqnarray} x_n+ker(T-\lambda) \end{eqnarray}$ wählen. Jetzt überlege dir nur noch, warum es in dieser Menge immer ein Element mit der von dir angegebenen Norm gibt.
02.05.2016, 11:10	r4ndom19	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke ich weiß worauf es hinaus läuft: Man findet ein k_n so dass $\begin{eqnarray} \|\|dist(x_n-k_n, ker(T-\lambda))\|\| = \|\|x_n - k_n\|\| -\epsilon \end{eqnarray}$ Bzw. $\begin{eqnarray} \|\|dist(x_n-k_n, ker(T-\lambda))\|\|+\epsilon = \|\|x_n - k_n\|\| \end{eqnarray}$ Zumdem gilt: $\begin{eqnarray} \|\|dist(x_n-k_n, ker(T-\lambda))\|\|=\|\|dist(x_n, ker(T-\lambda)\|\| \end{eqnarray}$ Für epsilon klein genug gilt dann die geforderte Ungleichung. Stimmt das so? Vielen Dank für deine Hilfe.
02.05.2016, 18:20	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, eine gute Begründung ist das nicht unbedingt, finde ich. Das $\begin{eqnarray} k_n \end{eqnarray}$ hat innerhalb von $\begin{eqnarray} dist \end{eqnarray}$ nichts verloren mMn. Zusätzlich verstehe ich nicht, was die Normstriche bei der Distanz sollen. Setze $\begin{eqnarray} K := ker(T-\lambda) \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} dist(x_n,K) = \inf_{k\in K}\\|x_n-k\\| \end{eqnarray}$ . Also gibt es für $\begin{eqnarray} \epsilon>0 \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} k_n\in K \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \\|x_n-k_n\\| \leq dist(x_n,K)+\epsilon \end{eqnarray}$ . Jetzt kann man so wie du weiter machen.

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