Doppelter Erwartungswert Brownsche Bewegung

02.05.2016, 10:41

Benni590

Doppelter Erwartungswert Brownsche Bewegung

Meine Frage:
Hi zusammen,

ich bin gerade dabei meine Masterarbeit über Swing Optionen zu schreiben. Bei den numerischen Ergebnissen bin ich in meiner Vorlage auf folgendes gestoßen:

$\begin{eqnarray*} E[g(W_{t+h}) \delta_x (W_t) = \int\int g(w_1 + w_2) \delta_x (w_1) \phi(\frac{w_1}{\sqrt{t}}) \phi(\frac{w_2}{\sqrt{h}}) dw_1 dw_2 \end{eqnarray*}$

wobei phi die Dichte einer Standardnormalverteilung und W eine Brownsche Bewegung darstellen soll. Leider ist mir das nicht ganz klar, wie man auf dieses Ergebnis kommt. Könnte mir hier jemand helfen?

Meine Ideen:
Mein Ansatz wäre den Erwartungswert erstmal als Produkt 2er EW'e zu schreiben aufgrund der Unabhängigkeit. Dann kann ich ja die Erwartungswerte jeweils als Integrale mit den Dichten schreiben.
Wenn ich das mache, komme ich allerdings nicht auf das gewünschte Ergebnis unglücklich

02.05.2016, 15:39

HAL 9000

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Mit $\begin{align*} \phi \end{align*}$ meinst du die Dichte Standardnormalverteilung? Fehlt dann nicht noch ein Faktor $\begin{align*} \frac{1}{\sqrt{th}} \end{align*}$ vor dem Gesamtintegral? verwirrt

Abgesehen davon wird hier einfach genutzt, dass $\begin{align*} W_t\sim \mathcal{N}(0,t) \end{align*}$ sowie $\begin{align*} (W_{t+h}-W_t)\sim \mathcal{N}(0,h) \end{align*}$ , und dass $\begin{align*} W_t \end{align*}$ und $\begin{align*} (W_{t+h}-W_t) \end{align*}$ unabhängig sind, dann kann man das Integral dann direkt so hinschreiben.

02.05.2016, 18:28

Benni590

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Ja genau, mit phi meine ich die Dichte der Standardnormalverteilung.

Das mit dem Faktor habe ich auch schon gehabt - allerdings ist dieser in meiner Quelle nicht.

Das mit der Verteilung der BB und dass die Inkremente unabhängig sind ist mir natürlich schon klar, aber irgendwie hilft mir das nur bedingt weiter.
Ich habe ja nicht $\begin{eqnarray*} (W_{t+h} - W_t ) \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} W_{t+h} \end{eqnarray*}$ bei g. Muss ich da irgendwas transformieren, oder was muss ich da tun?! Sorry, ich steh da glaub echt ziemlich auf dem Schlauch.

Danke schon mal.

02.05.2016, 18:38

HAL 9000

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Es steht doch nahezu direkt da ... Ok, ich zerlege es mal noch, versuche es zumindest:

Es existieren unabhängige $\begin{align*} U_1\sim \mathcal{N}(0,t) \end{align*}$ und $\begin{align*} U_2\sim \mathcal{N}(0,h) \end{align*}$ mit $\begin{align*} W_t=U_1 \end{align*}$ und $\begin{align*} W_{t+h}-W_t=U_2 \end{align*}$ , letzteres umformuliert zu $\begin{align*} W_{t+h} = W_t+U_2 = U_1+U_2 \end{align*}$ . Demnach ist

$\begin{align*} E\left[ g\left(W_{t+h}\right) \delta_x\left(W_t\right) \right] = E\left[ g\left(U_1+U_2\right) \delta_x\left(U_1\right) \right] = \iint\limits_{\mathbb{R}^2} g\left(w_1+w_2\right) \delta_x\left(w_1\right) f_{U_1}(w_1) f_{U_2}(w_2) ~ \dd w_1 ~ \dd w_2 \end{align*}$

mit den Dichten $\begin{align*} f_{U_1} \end{align*}$ und $\begin{align*} f_{U_2} \end{align*}$ der entsprechenden Zufallsgrößen. Und für diese Normalverteilungen gilt nun mal

$\begin{align*} f_{U_1}(w_1) = \frac{1}{\sqrt{t}} \phi\left( \frac{w_1}{\sqrt{t}} \right),\quad f_{U_2}(w_2) = \frac{1}{\sqrt{h}} \phi\left( \frac{w_2}{\sqrt{h}} \right) \end{align*}$

02.05.2016, 18:42

Benni590

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Super, danke!
Ich glaube, ich habe das Ganze jetzt richtig verstanden.

Der Schritt mit den beiden unabhängigen Zufallsvariablen war mir nicht so ganz klar. =)

Vielen Dank für deine Hilfe!!

26.05.2016, 14:47

Benni590

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Hi,

ich hätte bezüglich des Themas noch 1-2 Fragen, wobei ich mir nicht sicher bin.

Der Erwartungswert wird hier mit Hilfe partieller Integration umgeformt, um das Dirac-Maß loszubekommen.
Dabei wird insbesondere verwendet, dass
$\begin{eqnarray*} \delta_x(w_1) \end{eqnarray*}$ eine Ableitung von $\begin{eqnarray*} 1_{[x,\infty)}(w_1) \end{eqnarray*}$ ist.
Das dies gelten soll, ist mir irgendwie nicht ganz klar? Kann mir hier einer weiter helfen?

Meine 2. Frage bezieht sich auf die Umformung:
Ich habe das Ganze folgendermaßen umgeformt:

$\begin{eqnarray*} E \left[\widehat{g} (W_{t+h})\delta_{w_t} (W_t)\right] = \int \left[\widehat{g}(w_1 + w_2) 1_{[w_t,\infty)} (w_1) \frac{1}{\sqrt{th}} \varphi \left(\frac{w_1}{\sqrt{t}}\right) \varphi \left(\frac{w_2}{\sqrt{h}}\right)\right]_{w_1=-\infty}^{w_1=\infty} dw_2 \\ -\int\int \widehat{g}'(w_1 + w_2) 1_{[w_t,\infty)} (w_1) \frac{1}{\sqrt{th}} \varphi \left(\frac{w_1}{\sqrt{t}} \right) \varphi\left(\frac{w_2}{\sqrt{h}}\right) dw_1 dw_2 \\ - \int \int \widehat{g}(w_1 + w_2) 1_{[w_t,\infty)} (w_1) \frac{1}{\sqrt{th}} \left(-\frac{w_1}{t} \right) \varphi \left(\frac{w_1}{\sqrt{t}} \right) \varphi\left(\frac{w_2}{\sqrt{h}}\right) dw_1 dw_2 \end{eqnarray*}$
und das erste Integral ist aufgrund der Eigenschaften der Standardnormalverteilung 0. Ist das richtig?

Wäre euch sehr dankbar für Hilfe.

Grüße

26.05.2016, 15:10

HAL 9000

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Zitat:

Original von Benni590
Dabei wird insbesondere verwendet, dass $\begin{eqnarray*} \delta_x(w_1) \end{eqnarray*}$ eine Ableitung von $\begin{eqnarray*} 1_{[x,\infty)}(w_1) \end{eqnarray*}$ ist.
Das dies gelten soll, ist mir irgendwie nicht ganz klar? Kann mir hier einer weiter helfen?

Das ist nicht im Sinne der klassischen Analysis als Funktionsableitung gemeint, sondern als Ableitung einer Distribution. Ich denke nicht, das hier Zeit und Raum für eine Ausbreitung der entsprechenden Theorie ist.

Die Kurzvariante (so wie sich damals mein Physikprofessor des Themas "entledigt" hatte):

$\begin{align*} \delta_x \end{align*}$ ist einfach eine Funktion (?!), so dass $\begin{align*} \int\limits_{\mathbb{R}} \delta_x(w_1) h(w_1) ~ \dd w_1 = h(x) \end{align*}$ für alle stetigen Integranden $\begin{align*} h \end{align*}$ und alle reellen $\begin{align*} x \end{align*}$ gilt. Das dürfte auch bei dir weiterhelfen.

30.05.2016, 16:00

Benni590

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Vielen Dank erstmal für deine Antwort.

Das was du geschrieben hast ist mir eigentlich schon klar, aber ich verstehe jetzt nicht genau, weshalb ich daraus folgern kann, dass $\begin{eqnarray*} \delta_x (w_1) \end{eqnarray*}$ eine Ableitung von $\begin{eqnarray*} 1_{[x,\infty)} (w_1) \end{eqnarray*}$ ist?!

Ich denke du meinst vermutlich dass ich $\begin{eqnarray*} h(x):= 1_{[x,\infty)} \end{eqnarray*}$ setze und damit gilt dann $\begin{eqnarray*} h(x) = \int \delta_x(w_1) 1_{[w_1,\infty)} (w_1) dw_1 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} h'(x) = \delta_x (w_1) \end{eqnarray*}$ .
Ist das so richtig? Kommt mir so vor, wie wenn da was mit den x und w_1 nicht stimmt.

30.05.2016, 16:02

HAL 9000

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Zitat:

Original von Benni590
Das was du geschrieben hast ist mir eigentlich schon klar, aber ich verstehe jetzt nicht genau, weshalb ich daraus folgern kann, dass $\begin{eqnarray*} \delta_x (w_1) \end{eqnarray*}$ eine Ableitung von $\begin{eqnarray*} 1_{[x,\infty)} (w_1) \end{eqnarray*}$ ist?!

Ich hatte eigentlich deutlich gemacht, dass ich nicht unbedingt einen Vortrag über Distributionentheorie halten wollte - willst du das? Im klassischen Sinne stimmt das jedenfalls nicht, da besitzt die Indikatorfunktion ja gar keine Ableitung (sie ist ja sogar an der Stelle x unstetig).

Zitat:

Original von Benni590
Ich denke du meinst vermutlich dass ich $\begin{eqnarray*} h(x):= 1_{[x,\infty)} \end{eqnarray*}$ setze und damit gilt dann $\begin{eqnarray*} h(x) = \int \delta_x(w_1) 1_{[w_1,\infty)} (w_1) dw_1 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} h'(x) = \delta_x (w_1) \end{eqnarray*}$ .

Das meine ich nicht. Sondern bezogen auf dein Originalintegral oben nutzt du das für die Funktion $\begin{align*} h(w_1) = g(w_1 + w_2) \phi\left(\frac{w_1}{\sqrt{t}}\right) \end{align*}$ und bekommst dann für das innere $\begin{align*} w_1 \end{align*}$ -Integral

$\begin{align*} \int g(w_1 + w_2) \delta_x (w_1) \phi\left(\frac{w_1}{\sqrt{t}}\right) ~ \dd w_1 = g(x + w_2) \phi\left(\frac{x}{\sqrt{t}}\right) \end{align*}$

31.05.2016, 09:00

Benni590

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Hi,

nein das möchte ich eigentlich auch nicht - sorry falls das so rüber kam.

Nun, das was du geschrieben hast ist mir ja auch alles völlig klar und ist auch nachvollziehbar. Ich verstehe jetzt aber trotzdem nicht, wie das mir weiterhelfen soll ?!

Letztendlich soll folgendes rauskommen:

$\begin{eqnarray*} \int \int \widehat{g}(w_1 + w_2) \delta_{w_t}(w_1) \frac{1}{\sqrt{t}} \varphi \left(\frac{w_1}{\sqrt{t}} \right) \frac{1}{\sqrt{h}} \varphi\left(\frac{w_2}{\sqrt{h}}\right) dw_1 dw_2 \\ = \int \int \widehat{g}(w_1 + w_2) 1_{[w_t,\infty)} (w_1) \frac{1}{\sqrt{th}} \left(\frac{w_1}{t}\right) \varphi \left(\frac{w_1}{\sqrt{t}} \right) \varphi\left(\frac{w_2}{\sqrt{h}}\right) dw_1 dw_2 - \int\int \widehat{g}'(w_1 + w_2) 1_{[w_t,\infty)} (w_1) \frac{1}{\sqrt{th}} \varphi \left(\frac{w_1}{\sqrt{t}} \right) \varphi\left(\frac{w_2}{\sqrt{h}}\right) dw_1 dw_2 \end{eqnarray*}$

Die Begründung ist wiegesagt partielle Integration nach w_1 und dass mit der Ableitung Augenzwinkern

31.05.2016, 09:17

HAL 9000

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Dann suchst du dir wohl besser einen anderen Helfer. Ich mache diese Pseudo-Rechnungen $\begin{align*} 1_{[x,\infty)}'(w) = \delta_x(w) \end{align*}$ nicht mit. Ich wüsste auch nicht, wozu dieses langwierige Scheinrechnerei gut sein soll im Vergleich zum sofortigen $\begin{align*} \int\limits_{\mathbb{R}} \delta_x(w_1) h(w_1) ~ \dd w_1 = h(x) \end{align*}$ .

31.05.2016, 09:34

Benni590

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Ok, schade. Ich danke dir trotzdem für deine Hilfe.

Aus Spaß wird das mit der Indikatorfunktion natürlich nicht gemacht, das hat schon im weiteren Verlauf einen Sinn ;-)
Insbesondere bei der numerischen Simulation ist das von Bedeutung.

31.05.2016, 09:35

Guppi12

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Zitat:

Original von HAL 9000
Ich mache diese Pseudo-Rechnungen $\begin{align*} 1_{[x,\infty)}'(w) = \delta_x(w) \end{align*}$ nicht mit.

Ich auch nicht (insbesondere weigere ich mich, $\begin{eqnarray*} \delta_x(w) \end{eqnarray*}$ zu schreiben, denn wie ja bereits gesagt wurde, das ist keine gewöhnliche reelle Funktion), aber ich kann etwas dazu sagen, warum distributionell $\begin{eqnarray*} 1_{[x,\infty)}'=\delta_x \end{eqnarray*}$ gilt, danach wurde ja auch gefragt. Vielleicht hilft dir das weiter.

Es liegt einfach daran, dass für alle Schwartzfunktionen (oder, falls nicht bekannt, glatte Funktionen mit kompaktem Träger) $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \langle \delta_x, \varphi\rangle = -\langle 1_{[x,\infty)}, \varphi'\rangle \end{eqnarray*}$ . Dabei ist $\begin{eqnarray*} \langle u,\phi\rangle \end{eqnarray*}$ die Anwendung der Distribution $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ , sind beide Argumente Funktionen, so ist das das Gleiche, wie das Integral $\begin{eqnarray*} \int u(x)\phi(x)dx \end{eqnarray*}$ .

Das ist die Definition der distributionellen Ableitung, findet man eine Distribution, die genau das leistet, was oben steht, so heißt sie Ableitung (der anderen Distribution rechts).

Kurze Motivation: Das ist sinnvoll, weil die Gleichung auch für alle $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ gilt, die Schwartzfunktion oder glatt mit kompaktem Träger sind, wenn man deren klassische Ableitung einsetzt.

31.05.2016, 09:43

HAL 9000

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Ich würde einfach basierend auf

Zitat:

Original von Benni590 (korrigiert)
$\begin{eqnarray*} E[g(W_{t+h}) \delta_x (W_t)] = \int\int g(w_1 + w_2) \delta_x (w_1) \frac{1}{\sqrt{th}} \phi(\frac{w_1}{\sqrt{t}}) \phi(\frac{w_2}{\sqrt{h}}) dw_1 dw_2 \end{eqnarray*}$

so rechnen (s.o.): Inneres $\begin{align*} w_1 \end{align*}$ -Integral

$\begin{align*} \int g(w_1 + w_2) \delta_x (w_1) \phi\left(\frac{w_1}{\sqrt{t}}\right) ~ \dd w_1 = g(x + w_2) \phi\left(\frac{x}{\sqrt{t}}\right) \end{align*}$

und eingesetzt in den Gesamtausdruck oben dann

$\begin{align*} E\left[g(W_{t+h}) \delta_x (W_t) \right] = \int g(x + w_2) \frac{1}{\sqrt{th}} \phi\left(\frac{x}{\sqrt{t}}\right) \phi\left(\frac{w_2}{\sqrt{h}}\right) ~ \dd w_2 = \frac{1}{\sqrt{th}} \phi\left(\frac{x}{\sqrt{t}}\right) \cdot \int g\left(x + w_2\right) \phi\left(\frac{w_2}{\sqrt{h}}\right) ~ \dd w_2 \end{align*}$ ,

fertig. Jetzt kannst du natürlich noch eine Substitution $\begin{align*} w_2 = \sqrt{h}\cdot w \end{align*}$ mit dann $\begin{align*} \dd w_2 = \sqrt{h} ~ \dd w \end{align*}$ vornehmen, das führt zu

$\begin{align*} E\left[g(W_{t+h}) \delta_x (W_t) \right] = \frac{1}{\sqrt{t}} \phi\left(\frac{x}{\sqrt{t}}\right) \cdot \int g\left(x + \sqrt{h} w\right) \phi(w) ~ \dd w \end{align*}$ ,

ändert aber nichts substanziell.

EDIT: Hatte den Vorfaktor $\begin{align*} \frac{1}{\sqrt{th}} \end{align*}$ vergessen - korrigiert.

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