Vollständige Induktion einer Ungleichung

02.05.2016, 19:27

casio2212

Vollständige Induktion einer Ungleichung

Meine Frage:
Ich habe ein Problem bei dieser Ungleichung den Induktionsschritt zu machen. Weiß irgendwie nicht was ich wie anders ausdrücken soll/kann etc..

danke im voraus

Meine Ideen:
den Induktionsanfang habe ich schon

02.05.2016, 19:54

HAL 9000

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Das kann man relativ schnell erledigen: Für $\begin{align*} n=3 \end{align*}$ und $\begin{align*} x_1=x_2=x_3=4 \end{align*}$ ist diese Ungleichung falsch, denn für diese Werte gilt

$\begin{align*} \prod_{k=1}^n (1-x_k) = (-3)^3 = -27 ~{\color{red}<}~ -11 = 1-\sum_{k=1}^n x_k \end{align*}$ .

02.05.2016, 20:09

casio2212

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danke für deine antwort aber irgendwie hat sie mich jetzt ein bisschen verwirrt.. :/

hätte eher jetzt etwas mit (n+1) erwartet, da man das ja bei dem Induktionsschritt verwendet oder passt das jetzt in diesem fall nicht?

02.05.2016, 20:24

HAL 9000

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Dann sage ich es nochmal deutlicher: So wie oben angegeben ist die Behauptung falsch, und um das zu zeigen genügt die Angabe eines einzigen Gegenbeispiels - und genau das habe ich getan.

"Reparieren" könnte man die Behauptung dahingehend, dass man nicht nur $\begin{align*} 0\leq x_k \end{align*}$ , sondern stärker $\begin{align*} 0\leq x_k\leq 1 \end{align*}$ als Voraussetzung fordert.

02.05.2016, 20:55

casio2212

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das klärt einiges, vielen dank Big Laugh

wenn wir schon grade bei Ungleichungen und Induktion sind, würde ich dich gerne noch was kleines fragen:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} a_{i} \geq 0 \end{eqnarray*}$

um dies zu beweisen, muss ich abschätzen oder?
für n=1 ist es ja klar
beim I.schritt hätte ich nun geschrieben:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} a_{i} \geq 0 \end{eqnarray*}$
=
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} a_{i} + (n+1) \geq 0 \end{eqnarray*}$

da wir aus IV wissen dass die Summe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} a_{i} \end{eqnarray*}$ größer/gleich 0 ist, müsste man ja theoretisch nur noch zeigen dass (n+1) größer 0 ist oder? oder liege ich koplett falsch..?

02.05.2016, 20:58

casio2212

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ist überhaupt das (n+1) richtig oder müsste es $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ heißen?