Extremstellen im R3 |
| 03.05.2016, 14:02 | Knack | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Extremstellen im R3 Hallo zusammen, es geht um folgende Aufgabe: die Funktion f: R2 --> R sei definiert durch f(x,y)= y^4 - 3x y² + x³ Bestimmen sie alle lokalen und globalen Extrema und Sattelpunkte der Funktion f. Meine Ideen: Natürlich hab ich mich schon an der Aufgabe versucht und folgendes gerechnet. Zuerst einmal den Gradienten von f bestimmt: gradf (3x² - 3y²/ 4y³-6x*y) Danach habe ich die Kritischen Punkte ermittelt. Dabei komme ich auf (0/0) und (1,5/1,5) Der zweite Punkt macht mir kein Problem, über die Hessematrix sehe ich, dass es sich um ein lokales Minimum handelt. Beim ersten Punkt bekomme ich jedoch eine Matrix, bei der jede Position 0 ist. Wie kann ich hier weiter argumentieren? Habe die Funktion Ebenfalls in Geogebra eingegeben und so gesehen, dass sie ein zweites Minimum besitzt. Habe ich mich da einfach nur verrechnet und diesen Kritischen Punkt nicht gefunden ? Außerdem soll ich ja auch globale Extrema angeben. Wie gehe ich hier vor ? |
||||
| 03.05.2016, 14:57 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Extremstellen im R3 Nach einem mir vorliegenden Plot ist bei (0/0) ein Sattelpunkt. Guck Dir doch mal an, wie sich die Funktion an den Stellen , bzw. , verhält für beliebig kleine . |
||||
| 03.05.2016, 15:10 | Knack | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok, habe nun raus: f(h,0)>0 f(-h,0)<0 f(0,h)>0 f(0,-h)>0 Reicht das bereits als Erklärung,damit es sich um einen Sattelpunkt handelt ? Wäre es ein Maximum oder ein Minimum müssten ja alle Werte entweder >0 oder <0 sein, richtig ? Nach meinem Plot gibt es ja zwei lokale Minima, wobei ich eins nicht gefunden habe. Kannst du mir hier sagen wie ich vorgehen muss ? |
||||
| 03.05.2016, 15:34 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Für ein Maximum oder ein Minimum müßten die Funktionswerte entweder >0 oder <0 jeweils in allen Richtungen sein. Die Erklärung reicht also zumindest, um einen Extrempunkt zu widerlegen. Hinsichtlich einer weiteren Extremstelle habe ich die Aufgabe bisher nicht selbst durchgerechnet. Ich kann das machen, dauert aber noch. Falls ein anderer Helfer hier schon weiter ist, darf er gern posten. |
||||
| 03.05.2016, 15:53 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also ich hätte als kritischen Punkt noch (1,5/-1,5) gefunden. Da dürftest Du an einer Stelle die Wurzel aus einem Quadrat gezogen haben, ohne Betragsstriche zu verwenden. |
||||
| 03.05.2016, 16:03 | Knack | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ach verdammt, da hast du schon das Problem gefunden. Danke dafür. Wie gehe ich denn dann noch vor, wenn ich globale Extrema überprüfen soll ? Bislang hatten wir immer einen kompakten Definitionsbereich und konnten somit Extrema im Inneren und auf dem Rand finden, und dann auch sagen wo lokale beziehungsweise globale Maxima sind. Hier kann ich aber nicht direkt einen Rand untersuchen ? Finde auch in der Formelsammlung keine hilfe. Meine Idee wäre sich verschiedene Grenzwerte anzusehen, wenn x oder y beziehungsweise beide gegen unendlich oder negativ unendlich gehen. |
||||
| Anzeige | ||||
|
|
||||
| 03.05.2016, 16:17 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Man könnte hier z. B. nachweisen, dass für ein festes f(x,y) in beiden Richtungen unbeschränkt ist, wenn x über alle Grenzen wächst. Dann hat sich das globale Min/Max erledigt. |
||||
| 03.05.2016, 18:36 | Knack | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Lieben Dank für die Hilfestellungen, damit konnte ich die Aufgabe ganz gut lösen |
||||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
|
| Die Größten » |
| Die Neuesten » |
