Vereinfachung komplexer Zahlen/Brüche

03.05.2016, 22:35

Premature

Vereinfachung komplexer Zahlen/Brüche

Meine Frage:
Gegeben ist der Bruch $\begin{eqnarray*} \frac{cos 2 + i\cdot sin 2}{2e^{i4}} \end{eqnarray*}$ , und der soll so weit wie möglich umgeformt und vereinfacht werden.

Meine Ideen:
Laut Wiki hat der Zähler was mit der Eulerschen Formel zu tun und entspricht in diesem Fall $\begin{eqnarray*} e^{i2} \end{eqnarray*}$ .

Daraus folgt dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{cos 2 + i\cdot sin 2}{2e^{i4}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{e^{i2}}{2e^{i4}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{2e^{i2}} \end{eqnarray*}$

Ich schätze, dass das noch nicht das Ende der Fahnenstange ist. Hätte jemand eine Idee, wie ich noch weitermachen könnte? Falls die Umformung bis dahin überhaupt richtig ist...

03.05.2016, 23:30

mYthos

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RE: Verinfachung komplexer Zahlen / Brüche

Zitat:

Original von Premature
...
$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{2e^{i2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots = \frac{e^{-2i}} 2 = \frac {\cos 2 - i \sin 2}2 = \ldots \end{eqnarray*}$

mY+

04.05.2016, 10:06

Premature

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Vielen Dank! Warum ich nicht darauf gekommen bin verwirrt

Auf ein weiteres Problem bin ich allerdings bei einer anderen Aufgabe gestoßen, nämlich $\begin{eqnarray*} \sqrt{4i} \end{eqnarray*}$ . Die einzige Vereinfachung, die ich hier gefunden hab, ist $\begin{eqnarray*} 2 \cdot \sqrt{i} \end{eqnarray*}$ .
Könnte mir jemand einen Tipp geben?

Edit Equester: Latex korrigiert.

04.05.2016, 10:31

Steffen Bühler

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Da Mythos gerade nicht da ist:

Wie man Wurzeln aus komplexen Zahlen zieht, steht zum Beispiel in unserem Workshop.

Kommst Du damit weiter?

Viele Grüße
Steffen

04.05.2016, 11:26

Premature

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Ich schaue gleich mal rein Freude

04.05.2016, 12:17

Premature

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Wenn ich nach der Grundform $\begin{eqnarray*} \sqrt{a \pm bi} \end{eqnarray*}$ entsprechend von a = 0 und b = 4 ausgehe, erhalte ich nach Berechnung $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \pm i \cdot \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ .

Oder?

Edit Equester: Latex korrigiert.

04.05.2016, 12:28

Premature

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Noch als Ergänzung... Da es sich nur um 4i handelt, steht dann zwischen den Wurzeln nicht +-, sondern nur +.

04.05.2016, 12:36

Steffen Bühler

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Bis auf die Ergänzung stimmt's. Es ist nicht so wie bei reellen Zahlen, dass es nur eine Wurzel gibt, die Null oder positiv sein muss. Hier sind alle Wurzeln "gleichberechtigt", also $\begin{align*} \sqrt 2 + i \cdot \sqrt 2 \end{align*}$ (die allerdings ist hier der "Hauptwert") wie auch $\begin{align*} \sqrt 2 - i \cdot \sqrt 2 \end{align*}$ .

Viele Grüße
Steffen

04.05.2016, 12:56

Premature

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Also dann doch wie meine erste Berechnung mit $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ .

Danke!

Edit Equestee: Latex korrigiert.

04.05.2016, 13:01

Steffen Bühler

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Ja, wie gesagt.

Viele Grüße
Steffen

PS: das LaTeX-End-Tag ist /latex, nicht \latex...

04.05.2016, 14:20

Premature

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Verdammte Axt... Aber vielen Dank für die Korrektur Freude