Vollständiges Restsystem mod p

04.05.2016, 10:07

JohnPat

Vollständiges Restsystem mod p

Meine Frage:
Seien p eine ungerade Primzahl, a $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Z und R ein vollständiges Restsystem modulo p. Es bezeichne N die Anzahl jener Paare (x, y) $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R×R
mit x^2-y^2 $\begin{eqnarray*} und \end{eqnarray*}$ a (mod p).
Zeigen Sie, dass

N= p-1, falls a $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 0 (mod p),

N= 2p-1 falls a $\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ 0 (modp).

Meine Ideen:
Hallo liebe Community smile

ich komme bei der folgenden Aufgabe nicht vorwärts unglücklich

Kann mir jemand dabei helfen?
Vielen Dank

04.05.2016, 10:51

HAL 9000

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Zitat:

Original von JohnPat
bezeichne N die Anzahl jener Paare (x, y) $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R×R
mit x^2-y^2 $\begin{eqnarray*} und \end{eqnarray*}$ a (mod p).

Das soll wohl $\begin{align*} x^2-y^2 \equiv a\bmod p \end{align*}$ bedeuten.

Zumindest für den Fall $\begin{align*} a=0 \end{align*}$ kann ich sofort Auskunft geben:

$\begin{align*} x^2-y^2 = (x-y)(x+y)\equiv 0\bmod p \end{align*}$ ist genau dann erfüllt, wenn $\begin{align*} x-y\equiv 0\bmod p \end{align*}$ oder $\begin{align*} x+y\equiv 0\bmod p \end{align*}$ gilt. Die Anzahl solcher Paare $\begin{align*} (x,y) \end{align*}$ ist rasch gezählt.

EDIT: Ok, auch $\begin{align*} a\neq 1 \end{align*}$ ist klar. Man betrachte alle Lösungen $\begin{align*} (x,y) \end{align*}$ von $\begin{align*} x^2-y^2\equiv a\bmod p \end{align*}$ mit fester Differenz $\begin{align*} d:=x-y\bmod p \end{align*}$ . Augenzwinkern

04.05.2016, 13:35

JohnPat

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Vielen lieben Dank HAL 9000
du hast mir sehr weiter geholfen smile

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