Induktion: Summe mit Binomialkoeffizient

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AppleCrumble Auf diesen Beitrag antworten »
Induktion: Summe mit Binomialkoeffizient
Meine Frage:
Ich soll für alle mittels vollständiger Induktion zeigen, dass

gilt und komme beim Induktionsschritt nicht weiter.

Meine Ideen:
Der Induktionsanfang bereitet soweit keine Schwierigkeiten: .

Dann behaupte ich (Induktionsvoraussetzung), dass

für eine natürliche Zahl gilt.

Im Induktionsschritt bin ich dann nur bis hierhin gekommen:

Habe schon von beiden Seiten einiges an Umformungen versucht (Indexverschiebungen, Symmetrie und andere Eigenschaften des Binomialkoeffizienten, ...), bekomme die Terme aber einfach nicht gleich... Übersehe ich da irgendwas Offensichtliches?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Auf jeden Fall funktioniert es mit



Diese Regel gilt für alle ganzzahligen mit , wenn man noch



festlegt. Man formt folgendermaßen um:







Jetzt kannst du die Induktionsvoraussetzung anwenden. Die erste Summe läßt du von bis laufen und korrigierst das, indem du den Summanden für wieder subtrahierst. Du bekommst so dieselbe Summe wie die Ausgangssumme am Beginn der Umformung und kannst nach dieser auflösen. Am Schluß lief die Rechnung bei mir auf den Nachweis von



hinaus, was sich aber direkt verifizieren läßt.
AppleCrumble Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die ausführliche Antwort! Freude

Ja, mit dieser Regel für Binomialkoeffizienten passt das dann alles:
Komme mit deiner Rechnung auf
.

Und zu zeigen, dass die Differenz hinten gleich Null ist läuft dann ja genau auf den angegeben Nachweis hinaus, den man direkt zeigen kann (Definition Binomialkoeffizient, alles auf einen Bruch bringen, ausklammern, fertig).
Tanzen smile
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