Ungleichung durch Abschätzung lösen

05.05.2016, 13:10	noAhnung	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung durch Abschätzung lösen Meine Frage: Hallihallo Weiß jemand, wie ich diese Aufgabe lösen kann? Die Folge $\begin{eqnarray} (\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2})_{n\in \mathbb N} \end{eqnarray}$ konvergiert gegen 0. Damit existiert $\begin{eqnarray} n_0 \in \mathbb N \end{eqnarray}$ , so dass für alle $\begin{eqnarray} n \geq n_0 \end{eqnarray}$ die Ungleichung $\begin{eqnarray} \|\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\| < \frac{1}{3} \end{eqnarray}$ gilt. Bestimmen Sie das kleinste $\begin{eqnarray} n_0 \in \mathbb N \end{eqnarray}$ , das das leistet. Meine Ideen: Also allein durch Einsetzen lässt sich ja nun schon einfach erkennen, dass $\begin{eqnarray} n=4 \end{eqnarray}$ sein muss, denn dann gilt $\begin{eqnarray} \frac{1}{4}+\frac{1}{16}=0.3125<\frac{1}{3} \end{eqnarray}$ . Aber inwiefern kann ich nun meine Abschätzungen anstellen? :/ Das Thema ist auch ganz neu für mich, deswegen kann es bei mir leider etwas länger dauern, bis der Groschen endlich fällt. Aber ich würde mich trotzdem sehr über jegliche Hilfe freuen!
05.05.2016, 14:11	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung durch Abschätzung lösen Bedenke, dass deine Folge monoton fallend ist.
06.05.2016, 22:22	noAhnung	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Danke erst einmal für die Antwort. Allerdings geht mir trotz des Hinweises leider kein Licht auf.
06.05.2016, 23:50	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann beschreib doch einmal in deinen Worten, was "monoton fallend" für eine Folge bedeutet.
08.05.2016, 20:25	noAhnung	Auf diesen Beitrag antworten »
Das heißt, dass die erreichbaren Werte über die Folge immer kleiner werden, je größer ich mein n wähle?
09.05.2016, 00:25	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Das heißt, dass jedes Folgenglied kleiner als das vorherige ist, in Zeichen: $\begin{align} a_{n+1}\leq a_n \end{align}$ . Und damit solltest du jetzt das passende $\begin{align} n \end{align}$ bestimmen können bzw. begründen können, warum es das passende ist.
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09.05.2016, 19:03	noAhnung	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann ich denn einfach so sagen, dass für alle n > 4 gilt $\begin{eqnarray} \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2} < \frac{1}{4} + \frac{1}{n^2} < \frac{1}{4} + \frac{1}{16} < \frac{1}{3} \end{eqnarray}$ ?
09.05.2016, 19:07	noAhnung	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurze Verbesserung meinerseits. Für alle $\begin{eqnarray} n \geq 4 \end{eqnarray}$ .
09.05.2016, 23:07	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
irgendwie verstehe ich die Aufgabe nicht, im Text steht nix von Abschätzung und diese passt doch eher zur Bestimmung von irgendeinem n0. Bei der Bestimmung von min(n0) muss doch genau gerechnet werden.
09.05.2016, 23:39	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Dopap, in der Aufgabe steht doch ausformuliert, welche Ungleichung erfüllt sein muss. Was du mit "genau rechnen" meinst, kann ich auch nicht ganz nachvollziehen. @noAhnung: ja, das kannst du sagen. Du kannst für $\begin{align} n=3,n=4 \end{align}$ die Werte ja konkret ausrechnen und dann mit der Monotonie der Folge begründen, weshalb das nun minimal ist.

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