Isomorphismus finden

05.05.2016, 12:38	Poskepia	Auf diesen Beitrag antworten »
Isomorphismus finden Meine Frage: Hallo liebe Matheboardler, ich soll für eine Aufgabe Isomorphismen der Projektiven Linearen Gruppe über verschiedene Körper finden. Die Aufgabe ist: Finden Sie Isomorphismen $\begin{eqnarray} PGL_{2}(F_{2}) -> S_{3} <br /> PGL_{2}(F_{3}) -> S_{4} <br /> PGL_{2}(F_{4}) -> A_{5} \end{eqnarray}$ wobei F2 F3 und F4 jeweils Körper mit 2,3 oder 4 Elementen sind. Meine Ideen: Der Tipp ist, mit Möbiustranformationen die Gruppe $\begin{eqnarray} GL_{2}(F_{q}) \end{eqnarray}$ auf der Projektiven Gerade $\begin{eqnarray} P^1(F_{q}) \end{eqnarray}$ operieren zu lassen. Das wäre doch eine Operation: $\begin{eqnarray} GL_{2}(F_{q}) \end{eqnarray}$ x $\begin{eqnarray} P^1(F_{q}) -> P^1(F_{q}) \end{eqnarray}$ oder? Was bringt mit das denn? Ich weiß, wie $\begin{eqnarray} PGL_{2}(F_{q}) \end{eqnarray}$ aussieht, das ist die Menge aller Matrizen $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \lambda a & \lambda b \\ \lambda c & \lambda d & \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} ad-bc\neq 0, a,b,c,d \in F_{q}, \lambda \in F_{q}/(0) \end{eqnarray}$ . Dass die jeweiligen Gruppen gleich viele Elemente haben, weiß ich, aber wie sieht so ein Isomorphismus aus? Und wieso soll ich erst auf die Projektive Gerade und vor allem, was bringt es mir, von der Gruppe, $\begin{eqnarray} GL_{2}(F_{q}) \end{eqnarray}$ und nicht von $\begin{eqnarray} PGL_{2}(F_{q}) \end{eqnarray}$ auszugehen? Es wäre nett, wenn mir das einer erklären könnte, ich bin nicht wirklich gut in Algebra. Mit freundlichen Grüßen, Poskepia

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