Ausgezeichnete Punkte im Dreieck

05.05.2016, 21:03

forbin

Ausgezeichnete Punkte im Dreieck

Hallo,

Gegeben Sei das Dreieick abc (Vektoren).
Zeigen Sie, daß in abc der Höhenschnittpunkt genau dann mit dem Umkreismittelpunkt
zusammenfällt, wenn das Dreieck gleichseitig ist.

Ich habe folgende Formeln gegeben:

Umkreismittelpunkt $\begin{eqnarray*} m = \frac{1}{2(\tan\alpha +\tan\beta +\tan\gamma)}\cdot [(\tan\beta + \tan\gamma)a + (\tan\alpha+\tan\gamma)b + (\tan\alpha+\tan\beta)c] \end{eqnarray*}$
und Höhenschnittpunkt $\begin{eqnarray*} h = \frac{a\cdot\tan\alpha + b\cdot\tan\beta + c\cdot\tan\gamma}{\tan\alpha + \tan\beta + \tan\gamma} \end{eqnarray*}$

Die Richtung "Dreieck ist gleichseitig => fällt zusammen" ist leicht.
Aber die Richtung " fällt zusammen => ist gleichseitig" bereitet mir Kopfzerbrechen.
Mein Ansatz ist: $\begin{eqnarray*} h = m => \tan\alpha = \tan\beta = \tan\gamma \end{eqnarray*}$
Und da ich im Dreieck nur die Fälle betrachten muss, dass die Winkel zwischen 0 und pi liegen, kann ich ja entsprechend folgern, dass die Winkel gleich sind.

Nun habe ich die Formel $\begin{eqnarray*} h = u \end{eqnarray*}$ gesetzt und erhalte
$\begin{eqnarray*} 0 = a(\tan\alpha - \frac{\tan\beta+\tan\gamma}{2}) + b(\tan\beta- \frac{\tan\alpha+\tan\gamma}{2}) + c(\tan\gamma- \frac{\tan\alpha+\tan\beta}{2}) \end{eqnarray*}$

Nun, das stimmt natürlich, wenn die Ausdrücke in den Klammern jeweils null sind und dann komme ich auch zum gewünschten Ziel, aber es ist doch nicht notwendig, dass diese null sind? Also muss es doch auch andere Lösungen geben?

05.05.2016, 21:09

HAL 9000

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Ein rein elementargeometrisch begründeter Beweis kommt wohl nicht in Frage? Ist hier eigentlich viel, viel einfacher.

05.05.2016, 21:22

forbin

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Wie wäre denn der Ansatz?
Ist nicht verboten, habe mich nur sehr hierauf versteift unglücklich

05.05.2016, 21:45

HAL 9000

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Der Umkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten der Dreiecksseiten. Nun liegt eine solche Mittelsenkrechte natürlich parallel zur Höhe auf derselben Seite, der laut Voraussetzung gemeinsame Mittelpunkt kann also nur dann auf beiden zugleich liegen, wenn beide Linien zusammenfallen.... Was bedeutet das für das Dreieck?

05.05.2016, 23:34

forbin

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Natürlich

Vielen Dank smile

Ist denn mein Ansatz auch zielführend?

06.05.2016, 08:01

HAL 9000

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Zitat:

Original von forbin
Nun habe ich die Formel $\begin{eqnarray*} h = u \end{eqnarray*}$ gesetzt und erhalte
$\begin{eqnarray*} 0 = a(\tan\alpha - \frac{\tan\beta+\tan\gamma}{2}) + b(\tan\beta- \frac{\tan\alpha+\tan\gamma}{2}) + c(\tan\gamma- \frac{\tan\alpha+\tan\beta}{2}) \end{eqnarray*}$

Nun, das stimmt natürlich, wenn die Ausdrücke in den Klammern jeweils null sind und dann komme ich auch zum gewünschten Ziel, aber es ist doch nicht notwendig, dass diese null sind?

Doch, für die Gleichheit der Punkte ist es notwendig:

Was du hier verwendest, sind sog. (normierte) Baryzentrische Koordinaten. In der Ebene bedeutet das folgendes:

Sind $\begin{align*} a,b,c \end{align*}$ drei nicht kollineare Punkte (d.h. sie liegen nicht auf einer Geraden, was bei den Dreieckseckpunkten ja erfüllt ist), dass ist jeder Punkt $\begin{align*} p \end{align*}$ der Ebene in eindeutiger Weise durch $\begin{align*} p=xa+yb+zb \end{align*}$ mit reellen Koeffizienten $\begin{align*} x,y,z \end{align*}$ mit Summe $\begin{align*} x+y+z=1 \end{align*}$ darstellbar.

Deine Darstellungen oben sind beides baryzentrische Koordinatendarstellungen von Umkreis- und Höhenmittelpunkt. Die Gleichheit der Punkte erfordert also tatsächlich die jeweilige Übereinstimmung der Koordinaten.

06.05.2016, 08:18

forbin

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Hm, also das haben wir so nicht besprochen das Thema.
Könntest du mir auf die Sprünge helfen, in wieweit ich das benutzen kann?
Muss ich bei meinem gezeigten Term die Klammerausdrücke gleich seins setzen?

06.05.2016, 08:22

HAL 9000

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Was an meinem Beitrag war denn so unklar, dass du jetzt diese Frage stellst?

06.05.2016, 08:33

forbin

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Nun, ich denke dass ich es richtig verstanden habe, also dass meine Koeffizienten summiert 1 ergeben müssen.
Aber was ich mich gefragt habe war, dass es doch auch sein könnte:
-2a + b - c = 0
Da ist die Summe nicht 1.
Oder kann es sein dass ich dass gerade verwechsle mit drei Vektoren im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2} \end{eqnarray*}$ ?

06.05.2016, 08:37

HAL 9000

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Zitat:

Original von forbin
-2a + b - c = 0
Da ist die Summe nicht 1.

Eben, und damit sind es keine baryzentrischen Koordinaten, und damit hat das mit der obige Aussage

Zitat:

Original von HAL 9000
Sind $\begin{align*} a,b,c \end{align*}$ drei nicht kollineare Punkte (d.h. sie liegen nicht auf einer Geraden, was bei den Dreieckseckpunkten ja erfüllt ist), dass ist jeder Punkt $\begin{align*} p \end{align*}$ der Ebene in eindeutiger Weise durch $\begin{align*} p=xa+yb+zb \end{align*}$ mit reellen Koeffizienten $\begin{align*} x,y,z \end{align*}$ mit Summe $\begin{align*} {\color{red}x+y+z=1} \end{align*}$ darstellbar.

nichts zu tun. Da ich außerdem schon bestätigt hatte

Zitat:

Original von HAL 9000
Deine Darstellungen oben sind beides baryzentrische Koordinatendarstellungen von Umkreis- und Höhenmittelpunkt.

dass bei dir baryzentrische Koordinaten vorliegen, finde ich deine Nachfrage ziemlich überflüssig. Bzw., es ist ärgerlich, dass du meinen Beitrag nur oberflächlich durchgelesen und durchdacht hast. unglücklich

P.S.: Was soll überhaupt

Zitat:

Original von forbin
Muss ich bei meinem gezeigten Term die Klammerausdrücke gleich seins setzen?

bedeuten?

06.05.2016, 09:17

forbin

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Meine Güte, warum sind in diesem FOrum eigentlich direkt alle beleidigt, wenn man nicht direkt versteht was da steht?
Das Dingen ist doch zum Nachfragen da.
Und bevor du jetzt schreibst "Hast meinen Beitrag doch bestimmt gar nicht gelesen :'( "
....

06.05.2016, 10:34

HAL 9000

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Zitat:

Original von forbin
Meine Güte, warum sind in diesem FOrum eigentlich direkt alle beleidigt, wenn man nicht direkt versteht was da steht?

"Alle" ist sicher übertrieben - aber denk mal darüber nach, warum es so viele sind: Könnte es nicht auch an dir liegen, hinsichtlich dessen, was ich geschrieben habe? unglücklich

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