Bruch-Ungleichung

06.05.2016, 13:08	bluemerry	Auf diesen Beitrag antworten »
Bruch-Ungleichung Meine Frage: Hallo zusammen! Ich müsste beweisen dass $\begin{eqnarray} p \cdot \frac{1}{x^r} + (1-p) \cdot \frac{1}{y^r} > \frac{1}{(px+(1-p)y)^r} \end{eqnarray}$ wobei 0<p<1 und r>=1 und x>0 und y>0. Meine Ideen: Es geht relativ einfach für r=1, weil dann die Ungleichung $\begin{eqnarray} (x-y)^2 > 0 \end{eqnarray}$ herauskommt, die wahr ist für alle x!=y. Allerdings bereitet mir der Exponent r Schwierigkeiten. Hat vielleicht jemand eine Idee, wie man das am besten angehen könnte? Vielen Dank im Voraus!
06.05.2016, 13:12	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bruch-Ungleichung Definiere dir mal die Funktion $\begin{eqnarray} f(z) = \frac 1 {z^r} \end{eqnarray}$ . Dann solltest du das als eine bekannte Ungleichung erkennen.
06.05.2016, 13:22	bluemerry	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bruch-Ungleichung Meinst du so? $\begin{eqnarray} <br /> p\cdot f(x) + (1-p)\cdot f(y) > f(px +(1-p)y)<br /> \end{eqnarray}$
06.05.2016, 13:29	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bruch-Ungleichung Genau. Kommt sie dir irgendwie bekannt vor?
06.05.2016, 13:36	bluemerry	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bruch-Ungleichung Hmm, nein. Hast du einen Tipp?
06.05.2016, 13:40	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bruch-Ungleichung Schaue dir mal "strikte Konvexität" an.
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06.05.2016, 13:41	bluemerry	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bruch-Ungleichung Aha meinst du die Jensensche Ungleichung?
06.05.2016, 13:50	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bruch-Ungleichung Ich meinte wirklich die Definition von strikter Konvexität.
06.05.2016, 14:03	bluemerry	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bruch-Ungleichung Ok, vielen Dank!! Noch eine weitere Frage hätte ich, weisst du ob das auch gilt wenn die Ungleichung so aussieht? $\begin{eqnarray} p \cdot \frac{a}{x^r} + (1-p) \cdot \frac{b}{y^r} > \frac{pa+(1-p)b}{(px+(1-p)y)^r} \end{eqnarray}$
06.05.2016, 14:08	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bruch-Ungleichung Ohne Einschränkungen an $\begin{eqnarray} a,b \end{eqnarray}$ würde ich sagen sie ist falsch. Setzt man $\begin{eqnarray} a =0 \end{eqnarray}$ und kürzt auf beiden Seiten $\begin{eqnarray} (1-p)b \end{eqnarray}$ , so hängt die linke Seite nicht mehr von $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ab, die rechte schon. Kein gutes Zeichen.
06.05.2016, 14:12	bluemerry	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bruch-Ungleichung Ja du hast Recht. In meinem Fall wären aber a>0 und b>0.
06.05.2016, 14:24	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bruch-Ungleichung Das ist keine wirkliche Einschränkung, weil man $\begin{eqnarray} a \to 0 \end{eqnarray}$ betrachten könnte. Man verliert zwar die strikte Ungleichung, aber das Grundproblem bleibt bestehen.
07.05.2016, 11:42	bluemerry	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bruch-Ungleichung Ja, stimmt, schade. Aber vielen Dank für deine Hilfe! Wieder etwas neues gelernt.

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