Wie lässt sich die Umwandlung eines komplexen in eine reelle Fundamentalbasis veranschulichen? |
| 06.05.2016, 19:24 | Dooome | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Wie lässt sich die Umwandlung eines komplexen in eine reelle Fundamentalbasis veranschulichen? Ich möchte eine homogene DGL 2. Odnung mit konstanten Koeffizienten lösen. Beim Exponentialansatz treten für Lambda komplexe Lösungen auf. Weil diese lin. unabhängig sind, bilden sie (eingestezt) ein komplexes Fundamentalsystem. Da gilt: L{y} = L{y1 +y2} = 0 kann sind auch die Linearkombinationen der Lösungen eine Lösung. Die Lösungen lauten: y1= e^(i * Lambda * t) , y2 = e^-(i * Lambda * t) => y = A*y1 + B*y2 Das Problem ist jetzt, dass ich für eine reelles Problem zwei komplexe Lösungen habe. Da gilt: cos(x) = cos(-x) und sin(-x) = -sin(x), sind die beiden Lösungen zueinander konjugiert komplex. Soweit zu meinem Vorwissen. Ich habe gelesen, dass in diesem Fall sowohl die Linearkombinationen der Imaginärteile und die der Realteile gleichermaßen ein Fundamentalsystem darstellen. Das würde ja bedeuten, dass A*cos(Lambda*t) + B*cos(-Lambda*t) = (A+B) 2*cos(Lambda*t) und A*i*sin(Lambda*t) - B*i*sin(Lambda) = (A-B)*i*sin(Lambda) auch ein Fundamentalsystem bilden. Wenn ich mir das ganze in der Gaußschen Zahlenebene einzeichne, dann macht das auch Sinn, weil ja lediglich die Reihenfolge der einzelnen Komponenten der Vekrtoren geändert wird. Wie kann ich mir jetzt aber ein komplett reelles FS vorstellen? Gehen bei der Umwandlung nicht Informationen verloren oder liegt das an der Linearität der DGL und der lin. Unabhängigkeit der Lösung? Damit der Imaginäre Anteil in der einen Komponente verschwindet, muss wieder mit einer komplexen Zahl multipliziert werden. Damit das genau aufgeht, muss ja das Verhältnis von A und B stimmen. Wie bekommt man das genau hin? Vor allem vor dem Hintergrund, dass man als Anwender eigentlich nur relle Zahlen einsetzen möchte. Ich hoffe ihr versteht das Problem und jemand kann mir das verständlich erklären. |
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| 06.05.2016, 20:36 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Wie lässt sich die Umwandlung eines komplexen in eine reelle Fundamentalbasis veranschulichen? Wie Du ja selbst schreibst, sind (aufgrund der Vektorraumeigenschaften des Lösungsraums) auch die Linearkombinationen der Basisfunktionen wieder Lösungen der DGL. Da sollte es gleichgültig sein, welches spezielle Fundamentalsystem ich auf Grundlage der zuerst gefundenen Lösung angebe. Sei also z. B. ein solches FS, dann ist doch auch die reelle Linearkombination eine Lösung der DGL. Was hindert mich ferner daran, die komplexe Linearkombination zu bilden? Eigentlich nichts, denn ich habe eher festgestellt, dass Dozenten hierzu gar nichts sagen, sondern an dieser Stelle gleich auf vorgefertigte Ablesetabellen verweisen, in denen genau dasselbe Ergebnis steht. Also habe ich jetzt rein reelle Basisfunktionen - linear unabhängig, gleiche Dimension, Probe stimmt auch - paßt. |
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| 06.05.2016, 21:00 | Dooome | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke klauss für deine Erklärung. Das war schonmal sehr gut. Eine abschließende Frage habe ich aber noch: Wie ermittel ich die Faktoren A und B? Ich habe ja nur eine Gleichung, aber 2 Unbekannte. |
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| 06.05.2016, 21:09 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » |
A und B sind ja zunächst beliebig, wenn nur die allgemeine Lösung gesucht ist ("Linearkombination"!). Konkret bestimmt werden diese eigentlich erst, wenn ein Anfangswertproblem zu lösen ist, also bestimmte Anfangswerte für y, y' usw. vorgegeben sind. Damit steht aber zugleich die nötige Anzahl von Gleichungen zur Verfügung. |
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| 06.05.2016, 21:09 | Dooome | Auf diesen Beitrag antworten » |
Anmerkung zum letzten Post: Habe sich die Mathematiker und Ingenieure einfach die zweckmäßigsten Vorfaktoren ausgesucht, damit eine Sinus-Schwingung herauskommt? A und B sind ja frei wählbar, solange sie konugiert komplex sind. |
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| 06.05.2016, 21:11 | Dooome | Auf diesen Beitrag antworten » |
Da war ich wohl etwas zu langsam. Ich denke jetzt hab ich es wirklich vollkommen vertanden. Danke für deine Hilfe 
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