Inhomogene Differentialgleichung lösen

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07.05.2016, 15:03	Punktdot	Auf diesen Beitrag antworten »
Inhomogene Differentialgleichung lösen Meine Frage: Hey, ich soll die Differentialgleichung $\begin{eqnarray} I'(t) = \frac{U_{0}-RI(t) }{L} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} t>0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} I(0)=I_{0} \end{eqnarray}$ lösen. Hinweis: Finden Sie zunächst eine Lösung der homogenen DGL $\begin{eqnarray} I'_{h}(t) = - \frac{R}{L} I_{h}(t) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} I_{h}(0)=c \end{eqnarray}$ , wobei c eine positive Konstante sei. Demnach lässt sich $\begin{eqnarray} I_{h} \end{eqnarray}$ schreiben als $\begin{eqnarray} I_{h}(t)=F(c,t) \end{eqnarray}$ . Nutzen Sie nun den Ansatz $\begin{eqnarray} I(t)=F(c(t),t) \end{eqnarray}$ um eine Lösung des inhomogenen Problems zu finden. Meine Ideen: Den Hinweis habe ich genutzt und herausbekommen: $\begin{eqnarray} I_{h}(t)=e^{-\frac{R}{L}t+c } \end{eqnarray}$ Aber wie genau soll ich jetzt weitermachen, was ist mit diesem Ansatz gemeint? Soll das heißen, I(t)= $\begin{eqnarray} e^{-\frac{R}{L}t+c(t) \end{eqnarray}$ ? Soll ich das dann ableiten und einsetzen und dann c herausfinden? Bitte um kurze Aufklärung/Hinweis, danke
07.05.2016, 16:42	Schnappschildkröte	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, ich denke, du sollst einfach deine Konstante c in der Lösung der homogenen Gleichung durch eine Funktion c(t) ersetzen. Allerdings stimmt die Lösung noch nicht ganz, deine erfüllt zwar die homogene DGL, aber nicht die Anfangswertaufgabe.
07.05.2016, 16:57	Punktdot	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, meine Lösung stimmt für die homogene DGL? Dass sie für die inhomogene nicht gilt, war mir schon klar (I(0)=0 ist ja nicht erfüllt), es war ja nur der erste Schritt. Wenn ich c durch eine Funktion c(t) ersetze, was soll ich denn dann tun? Soll ich versuchen, diese c(t) näher zu bestimmen? Oder soll das allgemein bleiben? Ich verstehe nicht ganz, was das mit diesem c(t) soll. Und wie komme ich mit dem Ansatz auf eine Lösung?
07.05.2016, 17:29	Schnappschildkröte	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, du sollst ja die Anfangswertaufgabe lösen (bei der homogenen Gleichung). Wenn ich in deine Lösung die Zeit t=0 einsetze, kommt aber nicht c raus.
07.05.2016, 20:08	Punktdot	Auf diesen Beitrag antworten »
Da ist mir doch glatt das c in den Exponenten gerutscht. $\begin{eqnarray} I_{h}(t)=e^{-\frac{R}{L}t}+c \end{eqnarray}$ müsste es natürlich heißen. Aber mir ist immer noch nicht klar, was ich konkret damit anfangen soll.
07.05.2016, 21:41	Schnappschildkröte	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja fast, da käme dann für t=0 allerdings $\begin{eqnarray} I_h(0) = 1+c \end{eqnarray}$ raus. Die richtige Lösung ist einfach $\begin{eqnarray} I_h = ce^{-\frac{R}{L}t} \end{eqnarray}$ Wenn du das c jetzt durch c(t) ersetzt, kannst du das in die inhomogene Gleichung einsetzen und bekommst eine DGL für c(t).
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08.05.2016, 10:22	Punktdot	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt... Ich sollte definitiv die Rechenregeln für den Logarithmus wiederholen... Das c habe ich dann also durch c(t) ersetzt und das ganze dann eingesetzt. Für c(t) bekomme ich dann $\begin{eqnarray} c(t)=\frac{U_{0}}{R}e^{\frac{R}{L} t}+d \end{eqnarray}$ raus, wobei d eine Konstante ist. Wenn ich das jetzt aber in I(t) einsetze, hab ich da ja $\begin{eqnarray} I(t)=\frac{U_{0}}{R}+de^{-\frac{R}{L} t} \end{eqnarray}$ . Wenn ich für t=0 einsetze, kommt also $\begin{eqnarray} \frac{U_{0}}{R} +d \end{eqnarray}$ raus. Aber eigentlich sollte $\begin{eqnarray} \frac{U_{0}}{R} \end{eqnarray}$ ja schon $\begin{eqnarray} I_{0} \end{eqnarray}$ sein, oder? Was tut das d da? hm... Wäre schön, wenn mir jemand da weiterhelfen könnte... Vielleicht hab ich mich ja auch wieder verrechnet.
08.05.2016, 17:08	Punktdot	Auf diesen Beitrag antworten »
Könnte mir jemand rückmelden, ob das Ergebnis stimmt? Kann ich einfach $\begin{eqnarray} \frac{U_{0}}{R} +d \end{eqnarray}$ gleich $\begin{eqnarray} I_{0} \end{eqnarray}$ setzen?
08.05.2016, 18:12	Schnappschildkröte	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, hab ich auch raus. $\begin{eqnarray} \frac{U_0}{R} \end{eqnarray}$ ist nur dann der Strom $\begin{eqnarray} I_0 \end{eqnarray}$ , wenn nur ein Ohmscher Widerstand im Stromkreis steckt. Die Spule hat aber auch einen Einfluss auf die Spannung und die Stromstärke.
08.05.2016, 18:13	Punktdot	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, danke für deine Hilfe

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