Stochastisches Kreislinienparadoxon

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07.05.2016, 23:39	Chiara1404	Auf diesen Beitrag antworten »
Stochastisches Kreislinienparadoxon Meine Frage: Hallo es geht um meine Mathe-Präsi fürs Abi! Ich hoffe mir kann jemand so schnell wie möglich helfen!! Hier die Aufgabe: Gegeben seien der Punkt P1(x1\|y1\|z1) mit \|x1\| < \|y1\| < \|z1\| < 6 sowie ein zufällig gewählter Punkt P2 im reellen dreidimensionalen Bereich R^3. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Gerade P1P2 den Kreis k: x^2 +y^2=9 schneidet, mithilfe von Methoden der analytischen Geometrie und der Analysis. Diskutiere den scheinbaren Widerspruch zur empirischen Wahrscheinlichkeit. Meine Ideen: Ich hab jetzt den Ansatz, dass die Wahrscheinlichkeit 0 ist, da der Kreis sich im 2D-Raum befindet und die Gerade im 3D-Raum, jedoch habe ich auch den Ansatz, dass die Wahrscheinlichkeit unendlich ist, da man den Kreis in den 3D-Raum übertragen könnte. Ich hab es schon bei vielen Leuten probiert die es nicht lösen konnten bzw. mir einen Ansatz geben konnten, ich hoffe auf eure Hilfe
08.05.2016, 09:07	Hubert12345	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe die Aufgabenstellung nicht ganz. Dein k beschreibt überhaupt keinen Kreis, sondern die Wand eines unendlich langen Zylinders. Warum da steht, dass das ein Kreis sein soll, ist mir schleierhaft, das ist falsch. Was ist wirklich gemeint?
08.05.2016, 10:22	Chiara1404	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man die Formel im Internet eingibt, dann erscheinen aber mehrere Bilder die Anzeigen, dass das ein Kreis bestimmt
08.05.2016, 11:01	willyengland	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber nur in der xy-Ebene. nimmst du an, dass z = 0 ist? Ist das gegeben?
08.05.2016, 11:07	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Frage von Hubert ist schon berechtigt. Wenn man sich in der 2-dimensionalen x-y-Ebene bewegt, beschreibt $\begin{eqnarray} x^2+y^2=9 \end{eqnarray}$ natürlich einen Kreis in dieser Ebene. In der Aufgabe bewegt man sich aber im 3-dimensionalen Raum. Ein Kreis in der x-y-Ebene müsste dann die zusätzliche Angabe $\begin{eqnarray} z=0 \end{eqnarray}$ enthalten. Die zusätzliche Angabe $\begin{eqnarray} z=3 \end{eqnarray}$ würde dagegen einen Kreis im Abstand 3 oberhalb der x-y-Ebene beschreiben. Ohne zusätzliche Einschränkung für $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ beschreibt die Gleichung im 3-dimensionalen dagegen die Oberfläche eines Kreiszylinders. Was gemeint ist, sollte sich aus dem genauen Text der Aufgabe ergeben. Es wäre daher hilfreich, wenn du den exakten und vollständigen Aufgabentext hinschreiben würdest. Er wird auch benötigt, um zu sehen, auf welche Weise der Punkt $\begin{eqnarray} P_2 \end{eqnarray}$ zufällig ausgewählt werden soll. Die reine Angabe zufällig würde man üblicherweise als Gleichverteilung interpretieren. Die gibt es aber nicht für den gesamten 3-dimensionalen Raum. Eine weitere Frage ist, welche empirische Wahrscheinlichkeit gemeint ist? Was soll da wie empirisch gemacht werden?
08.05.2016, 11:51	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
interessant wäre auch, wie man auf die Wahrscheinlichkeit unendlich kommt
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08.05.2016, 12:09	Chiara1404	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Aufgabe steht genauso auf meinem Aufgabenblatt wie ich sie euch aufgeschrieben habe mehr Informationen hab ich leider auch nicht. Auf die Wahrscheinlichkeit unendlich kam ich durch den Punkt P1 da x,y&z in betragsstrichen geschrieben sind und alle kleiner als 6 sein müssen das waren nur 2 Ansätze die ich hatte ich komm aber einfach nicht drauf wie ich das machen soll
08.05.2016, 13:07	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn das tatsächlich der vollständige Aufgabentext ist, solltest du als erstes die fehlenden Informationen (1) Ist ein Kreis in der x-y-Ebene gemeint oder die Oberfläche eines Kreiszylinders? (2) Wie soll die Zufallsauswahl von $\begin{eqnarray} P_2 \end{eqnarray}$ erfolgen? bei dem Aufgabensteller (Lehrer?) erfragen. Wenn ein Kreis gemeint ist und der Punkt $\begin{eqnarray} P_2 \end{eqnarray}$ echt 3-dimensional verteilt ist, ist die Sache einfach. Falls der Punkt $\begin{eqnarray} P_1 \end{eqnarray}$ auf dem Kreis liegt, ist die Wahrscheinlichkeit 1, andernfalls ist sie 0. Wenn die Oberfläche eines Kreiszylinders gemeint ist, kann man die Frage, ob die Gerade den Zylinder schneidet durch Betrachtung der Projektion in x-y-Ebene entscheiden. Die projizierte Zylinderoberfläche ist wieder der Kreis und die projizierte Gerade ist wieder eine Gerade. Der Ausnahmefall, dass die beiden Punkte senkrecht übereinander liegen, kann außeracht gelassen werden, weil er die Wahrscheinlichkeit 0 hat. Liegt der projizierte Punkt $\begin{eqnarray} P_1 \end{eqnarray}$ innerhalb des Kreises ist die Wahrscheinlichkeit 1, da dann die projizierte Gerade den Kreis mit Sicherheit schneidet. Liegt der projizierte Punkt $\begin{eqnarray} P_1 \end{eqnarray}$ außerhalb des Kreises, schneidet die Gerade den Kreis, wenn sich der projizierte Punkt $\begin{eqnarray} P_2 \end{eqnarray}$ innerhalb eines Winkelbereichs befindet, der durch die beiden Tangenten von dem projizierten Punkt $\begin{eqnarray} P_1 \end{eqnarray}$ an den Kreis gebildet wird. Die Wahrscheinlichkeit dafür hängt von der offenen Frage ab, wie die Zufallsauswahl von $\begin{eqnarray} P_2 \end{eqnarray}$ erfolgen soll.
08.05.2016, 22:36	Chiara1404	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke das die Auswahl von P2 zufällig gewählt werden kann, also von mir und zwar egal welche Zahl, jedoch dachte ich das ich einen Punkt auf dem Kreis nehme, da ich dann aufjedenfall davon ausgehen kann, dass die gerade den Kreis schneidet oder liege ich dabei falsch? Das nachfragen bei meinem Lehrer gestaltet sich etwas schwierig, er darf mir keine Tipps geben und mir auch nicht bei der Aufgabenstellung helfen.( das ist so eine doofe Regelung fürs Abi )
08.05.2016, 22:50	Chiara1404	Auf diesen Beitrag antworten »
Könnt ihr mir sagen, mit welcher Formel ich eine Rechnung aufstellen kann, dass ich auf die Wahrscheinlichkeit von 0 und von 1 komme also einmal als Kreis und einmal als Zylinder?
09.05.2016, 08:21	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Auch wenn der Lehrer dir nicht helfen darf, Unklarheiten bei der Aufgabenstellung darf und muss er beseitigen und solche gibt es hier. Und noch mal, $\begin{eqnarray} P_2 \end{eqnarray}$ einfach zufällig wählen, ist keine sinnvolle Aussage. Schau dir mal das Bertrandsche Paradoxon an. Wenn du es nicht kennst, einfach googeln. Dort kann man zu ganz unterschiedlichen Lösungen kommen, wenn "zufällige Sehne" nicht näher definiert wird.

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