Quantität einer Funktion

08.05.2016, 11:30	Radisli	Auf diesen Beitrag antworten »
Quantität einer Funktion Meine Frage: Hallo Miteinander Ich habe folgende Aufgabe zu lösen: Wir betrachten für i = 0,...,k-1 die Vektoren $\begin{eqnarray} v_{i} \end{eqnarray}$ := $\begin{eqnarray} (v_{1}^{i} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} v_{2}^{i},...,v_{n}^{i})^{T} \end{eqnarray}$ und y := $\begin{eqnarray} (y_{1},...,y_{n})^{T} \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathbb R^{n} \end{eqnarray}$ . Beweisen Sie, dass ein Polynom f(x) vom Grad höchstens k-1 mit $\begin{eqnarray} Q^{2}(f)=0 \end{eqnarray}$ existiert, genau dann wenn y $\begin{eqnarray} \in <y_{1},...,y_{k-1}>. \end{eqnarray}$ Wir haben die Quantität folgendermassen definiert: Es sei eine Menge von Punkten { $\begin{eqnarray} (x_{i}, y_{i}) \in \mathbb R^{2} \| i=1,...,n \end{eqnarray}$ } mit $\begin{eqnarray} x_{i} \neq x_{j} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} i \neq j \end{eqnarray}$ gegeben ist und wir haben ein Polynom f(x) $\begin{eqnarray} \in \mathbb R[x] \end{eqnarray}$ , dann ist die Quantität $\begin{eqnarray} Q^{2}(f) \end{eqnarray}$ definiert als $\begin{eqnarray} Q^{2}(f) \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^{n} \|f(x_{i}) - y_{i}\|^{2} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Leider habe ich zur Zeit gar keine Ahnung, was ich damit anfangen soll... die Definition der Quantität steht so auf dem Übungsblatt, wir haben dies aber in der Vorlesung nie näher behandelt... Kann mir da jemand helfen?
08.05.2016, 11:48	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe nicht, wie das zusammenhängt. Der Vektor $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ kann nicht im Erzeugnis seiner Komponenten $\begin{eqnarray} y_j, j=1,...,k-1 \end{eqnarray}$ liegen, vielleicht meinst Du das Erzeugnis der $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ Vektoren $\begin{eqnarray} v_i, i=0,...,k-1 \end{eqnarray}$ . Gibt es nur die Quantität für Punkte im $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ ? Braucht man hier nicht vielmehr etwas analoges für Punkte im $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ ? Achte auch darauf, dass Du den maximalen Index n in der Quantität nicht mit der Dimension n des $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ verwechselst.
08.05.2016, 12:06	Radisli	Auf diesen Beitrag antworten »
Mist, ja genau das meine ich... $\begin{eqnarray} y \in <v_{0},...,v_{k-1}> \end{eqnarray}$ Und leider kann ich jetzt den Beitrag nicht mehr bearbeiten... Kannst du mir einen Tip geben, was mir die Quantität genau sagt, damit ich eine Aussage über das Erzeugnis machen kann? Ich weiss nicht, ob es nur diese Def. zur Quantiät gibt. Ich denke aber, dass diese für die Ausgabe hier reichen sollte... Aber um dies zu hinterfragen, verstehe ich dieses Thema noch viel zu wenig.
08.05.2016, 14:01	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie gesagt, passt diese Definition der Quantität nicht zum gestellten Problem. Du brauchst erst mal eine Definition, in die man Punkte aus dem $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ einsetzen kann. Ich kann nicht über Sachen nachdenken, die nicht definiert sind. In die vorliegende Definition passen nur Punkte aus dem $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ . Dort scheint die Quantität ein durch ein Polynom $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ modifizierter Abstandsbegriff für die $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ -und $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ -Werte von Punkten der Ebene zu sein. Für $\begin{eqnarray} f(x)=x \end{eqnarray}$ misst die Quantität die Quadratsumme der $\begin{eqnarray} x-y \end{eqnarray}$ -Abstände. Für ein Polynom $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist die Quantität genau dann 0, wenn die Punkte $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ der Gleichung $\begin{eqnarray} f(x)=y \end{eqnarray}$ genügen. Wie überträgt sich die Quantität auf den n-dimensionalen Fall ? Und gilt dort auch, dass ein Polynom vom Grad k durch k+1 Punkte eindeutig festgelegt ist ?

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