Ganze Funktion bestimmen

09.05.2016, 09:22

Leoni_93

Ganze Funktion bestimmen

Guten Tag liebe Leute,

in Vorbereitung auf eine Klausur bin ich auf folgende Aufgabe gestoßen:

Meine Frage:
Seien $\begin{eqnarray*} \alpha _{1} , \alpha _{2} \in \mathbb C \setminus [0] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \alpha _{1} \neq \lambda \alpha _{2} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Bestimmen Sie alle ganzen Funktionen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} f(z)=f(z+\alpha _{1})=f(z+\alpha _{2}) \end{eqnarray*}$
für alle $\begin{eqnarray*} z\in \mathbb C \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Nun sind ja ganze Funktionen in Potenzreihen umwandeln, was hier ja nicht hilfreich ist. Deshalb wollte ich die komplexen Zahlen $\begin{eqnarray*} z, \alpha _{1}, \alpha _{2} \end{eqnarray*}$ in Real- und Imaginärteil aufsplitten( $\begin{eqnarray*} z=x+iy, \alpha _{1}=x_{1}+iy_{1}, \alpha _{2}=x_{2}+iy_{2} \end{eqnarray*}$ ).
Daraus folgt $\begin{eqnarray*} f(z+\alpha _{1})=f((x+x_{1})+i(y+y_{1})) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(z+\alpha _{2})=f((x+x_{2})+i(y+y_{2})) \end{eqnarray*}$ . Jetzt sehe ich allerdings leider nicht, auf welche ganzen Funktionen dies zutrifft.

Danke schonmal

09.05.2016, 21:57

Guppi12

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Hallo und herzlich Willkommen im Forum

Tipp: Zeige, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ beschränkt ist. Mache dir das erstmal klar, indem du $\begin{eqnarray*} \alpha_1 = 1, \alpha_2 = i \end{eqnarray*}$ annimmst, um dir eine Vorstellung zu bilden, wie so eine Funktion überhaupt aussieht. Gehe dann zum allgemeinen Fall über.

10.05.2016, 11:43

Leoni_93

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Danke für die freundliche Aufnahme Wink

Gut meine Vermutung war eh dass die Nullfunktion eine mögliche wäre, hinzu kommen dann ja noch alle anderen konstanten Funktionen. Aber wie kann ich allgemein zeigen, dass Funktionen beschränkt sind und nur diese als Lösung gehen? Dann könnte ich den Satz von Liuoville anweden um auf die konstanen Funktionen zu kommen.

Beste Grüße

10.05.2016, 18:18

Guppi12

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Hast du dir mal überlegt, wie Funktionen aussehen, die das mit den festen $\begin{eqnarray*} \alpha_1,\alpha_2 \end{eqnarray*}$ von mir oben erfüllen? Da wiederholen sich die Funktionswerte einfach, wenn man sich in der komplexen Ebene um 1 in Richtung einer der Koordinatenachsen bewegt. Da sollte es anschaulich nicht schwer zu verstehen sein, warum sowas beschränkt sein muss oder? Du musst das nur noch für den allgemeinen Fall zeigen, die Idee ist die gleiche.

11.05.2016, 07:16

Leoni_93

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Achso es handelt sich dabei um periodische Funktionen, bzw im Fall mit $\begin{eqnarray*} \alpha_1 , \alpha_2 \end{eqnarray*}$ um doppelt-periodische Funktionen . Die konstanten Funktionen bleiben aber auch mögliche Funktionen die dies erfüllen?! Wie kann ich denn zeigen dass es keine weiteren Möglichkeiten gibt?

11.05.2016, 09:19

HAL 9000

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Hmm, Guppi12 hat mehrfach versucht, dich in die richtige Richtung zu dirigieren, aber du kommst wohl einfach nicht drauf: Überleg dir mal, warum es aufgrund dieser Eigenschaft $\begin{eqnarray*} f(z)=f(z+\alpha _{1})=f(z+\alpha _{2}) \end{eqnarray*}$ eine beschränkte Menge $\begin{align*} M\subset \mathbb{C} \end{align*}$ gibt, auf der $\begin{align*} f \end{align*}$ bereits alle möglichen Werte annimmt, d.h. mit $\begin{align*} f(M)=f(\mathbb{C}) \end{align*}$ . Man kann eine solche Menge $\begin{align*} M \end{align*}$ sogar sehr konkret angeben, basierend auf $\begin{align*} \alpha_1,\alpha_2 \end{align*}$ .

11.05.2016, 13:44

Leoni_93

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Ok nun bin ich total verunsichert, aber ich versuch mich nochmal.
Wenn ich $\begin{eqnarray*} \alpha_1, \alpha_2 \end{eqnarray*}$ , mal als $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ annehme, dies jeweils fortführe auf den Koordinatenachsen, dann sind $\begin{eqnarray*} \alpha_1, \alpha_2 \end{eqnarray*}$ , bzw vielfache von ihnen, die Ecktpunkte eines Gitters?! Das Innere eines Gittersegments ist dann eine beschränkte Menge(ich nenne es $\begin{eqnarray*} \Lambda \end{eqnarray*}$ ). Der Abschluß des Inneren( $\begin{eqnarray*} \bar\Lambda\ \end{eqnarray*}$ ) ist dann kompakt.

Bin ich soweit richtig, oder immernoch total auf dem Holzweg?

Von hier aus könnte man dann argumentieren, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ laut Aufgabenstellung stetig ist, somit $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} \bar\Lambda\ \end{eqnarray*}$ ) wieder kompakt ist, also beschränkt. Daraufhin würde ich mit dem Satz von Liouville argumentieren.

11.05.2016, 15:01

HAL 9000

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Zitat:

Original von Leoni_93
dann sind $\begin{eqnarray*} \alpha_1, \alpha_2 \end{eqnarray*}$ , bzw vielfache von ihnen, die Ecktpunkte eines Gitters?! Das Innere eines Gittersegments ist dann eine beschränkte Menge(ich nenne es $\begin{eqnarray*} \Lambda \end{eqnarray*}$ ). Der Abschluß des Inneren( $\begin{eqnarray*} \bar\Lambda\ \end{eqnarray*}$ ) ist dann kompakt.

Das ist schon mal gar nicht so schlecht. Das M, von dem ich oben gesprochen habe, kann man z.B. als ein solches Gittersegment wählen, im einfachsten Fall wäre das

$\begin{align*} M = \left\{ r_1\alpha_1+r_2\alpha_2 \bigm| \alpha_1,\alpha_2\in [0,1) \right\} \end{align*}$ ,

ein Parallelogramm in der komplexen Ebene - im o.g. Spezialfall $\begin{align*} \alpha_1=1,\alpha_2=i \end{align*}$ wäre das schlicht ein Quadrat.

Die Forderung $\begin{eqnarray*} \alpha _{1} \neq \lambda \alpha _{2} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist nötig, damit $\begin{align*} M \end{align*}$ eine "echte" Fläche ist statt nur eine Strecke.

11.05.2016, 15:33

Leoni_93

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Ok vielen Dank für die tolle Hilfe!

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