Mit welcher Potenz tritt eine Primzahl in der Primfaktorzerlegung auf?

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matheboy94 Auf diesen Beitrag antworten »
Mit welcher Potenz tritt eine Primzahl in der Primfaktorzerlegung auf?
Meine Frage:
Berechne folgende Angaben:
a) Wie lautet der Exponent von 2 in der Primfaktorzerlegung von 12! ?
b) Wie lautet der Exponent von 7 in der Primfaktorzerlegung von 12! ?
c) Wie lautet der Exponent von 13 in der Primfaktorzerlegung von 12! ?
d)Mit welcher Potenz tritt eine Primzahl p in der Primfaktorzerlgegung von n! auf? Zeige: Sei n , sei p prim, und sei
Dann gilt: 1.
2.

Meine Ideen:
zu a) 12! = 2^10 * 3^5 * 5^1 * 7^1 * 11^1
also ist die Antwort 10
b) Antwort ist 1
c) Antwort ist 0 weil 13^0 = 1

bei d) komme ich nicht weiter
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

ist das Produkt der natürlichen Zahlen bis . Jetzt überlege dir zu gegebener Primzahl folgende Fragen:

a) Wie viele dieser Zahlen sind durch teilbar?

Alle diese Zahlen liefern bezogen auf je einmal den Primteiler .

b) Wie viele dieser Zahlen sind durch teilbar?

Alle diese Zahlen sind zwar schon in a) erfasst, durch die zweimalige Teilbarkeit durch liefern sie aber bezogen auf je einmal zusätzlich den Primteiler .

c) Wie viele dieser Zahlen sind durch teilbar?

...

Die Anzahlen in a),b),c),... summiert man zu . Basierend auf der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung wird durch dieses Zählprinzip für Primteiler in vollem Umfang erfasst, wie oft er in vorkommt.


d 2.) ist dann nur noch eine Anwendung der Summenformel der geometrischen Reihe. Etwas schärfer wäre übrigens .



P.S.: Es ist 12! = 2^10 * 3^5 * 5^2 * 7^1 * 11^1 Augenzwinkern
 
 
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