Rechnen mit Einheiten

09.05.2016, 19:34

Rivago

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Rechnen mit Einheiten

Das alte Leid verwirrt

verwirrt

Ich habe folgendes gegeben:

$\begin{eqnarray*} p = 10 \ bar = 1000000 \frac{N}{m²} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rho = 20 \frac{kg}{m^3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a = 140,8 \frac{kPa \cdot dm^6}{mol^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b = 0,0391 \frac{dm^3}{mol} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R_i = 296,839 \frac{J}{kg \cdot K} \end{eqnarray*}$

Die Gleichung lautet $\begin{eqnarray*} R_i \cdot T = \left( \rho + \frac{a}{v^2} \right) \cdot (v - b) \end{eqnarray*}$

Gesucht ist T. Lösung ist wohl $\begin{eqnarray*} T = 223,08 \ K \end{eqnarray*}$

Ich habe $\begin{eqnarray*} v = \frac{1}{\rho} = \frac{1}{20} \ \frac{m^3}{kg} \end{eqnarray*}$

Habe mir a/v^2 umgeschrieben und erhalte $\begin{eqnarray*} \frac{a}{v^2} = \frac{s^2}{m^3} = \frac{176}{3} \ \frac{s2}{m^3} \end{eqnarray*}$

Erstmal bis hier hin. Stimmt das denn? Kommt mir komisch vor verwirrt

verwirrt

09.05.2016, 20:00

willyengland

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Das erscheint mir etwas wirr. Big Laugh

Big Laugh

p kommt z.B. in deiner Formel gar nicht vor.

Worum geht es denn überhaupt?

Du musst die Gleichung nach T auflösen und alle Einheiten einsetzen.
Dann muss sich alles wegkürzen, bis auf Kelvin.
Evtl. musst du "zusammengesetzte" Einheiten vorher auflösen.
z.B.
$\begin{eqnarray*} N = \frac{kg*m}{s^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P = \frac{kg}{m*s^2} \end{eqnarray*}$

Joule suchst du dann mal selber raus ...

09.05.2016, 20:14

Rivago

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RE: Rechnen mit Einheiten
Sorry, ein Fehler von mir. So ist die Gleichung richtig:

Die Gleichung lautet $\begin{eqnarray*} R_i \cdot T = \left(p + \frac{a}{v^2} \right) \cdot (v - b) \end{eqnarray*}$

Somit $\begin{eqnarray*} T = \frac{\left(p + \frac{a}{v^2} \right) \cdot (v - b)}{R_i} \end{eqnarray*}$

Ich soll die Temperatur von Stickstoff bei den gegebenen Größen berechnen.

Habe jetzt nochmal etwas umgeschrieben bzw neu angefangen.

$\begin{eqnarray*} a = 10^{-3} \frac{Pa \cdot m^6}{mol^2} = 10^{-3} \frac{m^4}{N} \end{eqnarray*}$

Und für meinen Fall dann $\begin{eqnarray*} a = 0,1408 \ \frac{m^4}{N} \end{eqnarray*}$

Und $\begin{eqnarray*} \frac{a}{v^2} \end{eqnarray*}$ müsste dann ja $\begin{eqnarray*} \frac{kg \cdot s^2}{m^3} \end{eqnarray*}$ ergeben. Ist das so richtig?

09.05.2016, 20:15

Dopap

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1.)

v-b geht nicht wegen inconsistent Units

2.) $\begin{eqnarray*} \frac{ a}{ v^2}=56.32\,\frac{\rm kg^3}{\rm ms^2mol^2} \end{eqnarray*}$

3.) $\begin{eqnarray*} \rho +\frac{ a}{ v^2} \end{eqnarray*}$ : inconsistent Units

-------------------------------------------

EDIT: bezieht sich auf die erste post.

09.05.2016, 20:26

Dopap

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RE: Rechnen mit Einheiten

Zitat:

Original von Rivago

$\begin{eqnarray*} a = 10^{-3} \frac{Pa \cdot m^6}{mol^2} = 10^{-3} \frac{m^4}{N} \end{eqnarray*}$

wo ist das "mol" geblieben ?

09.05.2016, 20:34

Rivago

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Ach ok, jetzt seh ich es gerade. Habe da was verwechselt.. verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} a = 0,1408 \frac{N \cdot m^4}{mol^2} \end{eqnarray*}$

Das könnte man noch so umschreiben: $\begin{eqnarray*} a = 0,1408 \frac{kg \cdot m^5}{s^2 \cdot mol^2} \end{eqnarray*}$

Jetzt sollte dann $\begin{eqnarray*} \frac{a}{v^2} \end{eqnarray*}$ folgendes ergeben: $\begin{eqnarray*} \frac{kg^3}{s^2 \cdot m \cdot mol^2} \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

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09.05.2016, 21:34

Dopap

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Zitat:

Original von Rivago
... sollte dann $\begin{eqnarray*} \frac{a}{v^2} \end{eqnarray*}$ folgendes ergeben: $\begin{eqnarray*} \frac{kg^3}{s^2 \cdot m \cdot mol^2} \end{eqnarray*}$

steht genau so in meiner ersten post.

Und wenn du die Maßzahlen schon weglässt, solltest du von Dimension reden.

09.05.2016, 21:48

Rivago

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Okay..

Für den ersten Teile hätte ich dann also $\begin{eqnarray*} T = \frac{(1000000 \frac{N}{m^2} - 56,32 \frac{kg^3}{s^2 \cdot m \cdot mol^2}) \cdot (...)}{...} \end{eqnarray*}$

Kann man das so schon verrechnen oder muss ich da jetzt noch was umrechnen?

09.05.2016, 22:46

Dopap

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natürlich nicht !

Die 10 Bar sind $\begin{eqnarray*} 10^6 \,\frac {\rm kg }{\rm ms^2 } \end{eqnarray*}$

--> inconsistent Units

Wenn deine Gleichung lösbar sein soll, dann müssen die Maßeinheiten aller Konstanten stimmen. Vor allem bei den Additionen müssen diese kohärent sein.

10.05.2016, 09:17

willyengland

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Genau.
Du kannst ja nicht 3 kg minus 2 m rechnen!

Die Gleichung ist Murks.
Woher stammt die denn?

10.05.2016, 18:40

Rivago

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Also geht es so gar nicht?

Das ist die van der Waals Gleichung.

10.05.2016, 19:01

willyengland

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Zitat:

[i]Das ist die van der Waals Gleichung.

Ach die!
Lang, lang ists her ... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Okay, also hast du folgende Einheiten:

T = K

R = Gaskonstante = J/(mol K) = (kg m^2)/(s^2 mol K)

P = Pascal = kg/(m s^2)

a = (Pa m^6)/mol^2

Vm = m^3/mol

b = m^3/mol

EDIT:

$\begin{eqnarray*} (p+\frac{a}{V_m^2}) \Rightarrow Pa+\frac{Pa m^6 mol^2}{m^6 mol^2} = Pa + Pa \end{eqnarray*}$

so stimmt es dann.

Es bleibt rechts an Einheiten:

$\begin{eqnarray*} [RT] = Pa * \frac{m^3}{mol} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [RT] = \frac{kg}{m s^2} * \frac{m^3}{mol} \end{eqnarray*}$

19.05.2016, 16:33

Rivago

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Tut mir leid für die späte Antwort..

Ich muss hier nochmal nachhake.

Habe da vorher schon einen Fehler gemacht.

$\begin{eqnarray*} a = 3 \cdot p_k \cdot v_k^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b = \frac{v_k}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p_k = 33,9 \ bar = 33,9 \cdot 10^5 \ Pa = 33,9 \cdot 10^5 \ \frac{N}{m^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_k = 89,5 \ \frac{cm^3}{mol} = 8,95 \cdot 10^{-5} \ \frac{m^3}{mol} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T_k = 126,2 \ K \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Ri_{(vdW)} = 8 \cdot \frac{p_k \cdot v_k}{3 \cdot T_k} = 6,411 \ \frac{J}{mol \cdot K} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a = 0,0815 \ \frac{Pa \cdot m^6}{mol^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b = 2,983 \cdot 10^{-5} \ \frac{m^3}{mol} \end{eqnarray*}$

Die Dichte beträgt 20 kg/m^3, deshalb nun $\begin{eqnarray*} v = \frac{1}{\rho} = \frac{1}{20} \ \frac{m^3}{kg} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T = \frac{(p + \frac{a}{v^2}) \cdot (v - b)}{Ri} \end{eqnarray*}$

Aber das passt doch mit den Einheiten vorne und hinten nicht zusammen. Was mach ich denn da nur falsch? verwirrt

verwirrt

19.05.2016, 18:55

Dopap

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ein Durcheinander von Konstanten und Gleichungen und Halbgerechnetes. So blick ich kaum durch.

1.) Schreib doch zuerst die Konstanten hin. Nicht notwendigerweise in SI- Einheiten. Hauptsache richtig.

2.) Dann alle relevanten Gleichungen samt Schlussgleichung.

3.) Achte auf Indizes.

21.05.2016, 14:41

Rivago

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Also um Licht ins Dunkel zu bringen hier jetzt endlich die komplette Lösung. Vllt stolpert ja mal jemand hier drüber und kann es gebrauchen:

Aus Aufgabe: Gesucht die Temperatur T von Stickstoff bei $\begin{eqnarray*} p = 10 \ bar \end{eqnarray*}$ und einer Dichte von $\begin{eqnarray*} \rho = 20 \ \frac{kg}{m^3} \end{eqnarray*}$
Lösung soll mittels van der Waals-Gleichung erfolgen.

Die kritischen Größen von Stickstoff sind:

$\begin{eqnarray*} T_K = -146,95°C = 126,2 \ K \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p_K = 33,9 \ bar = 33,9 \cdot 10^5 \ \frac{N}{m^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rho_K = 314 \ \frac{kg}{m^3} \end{eqnarray*}$

Somit $\begin{eqnarray*} v_K = \frac{1}{314} \ \frac{m^3}{kg} \end{eqnarray*}$

Jetzt kann man was rechnen:

$\begin{eqnarray*} Ri_{(vdW)} = 8 \cdot \frac{p_k \cdot v_k}{3 \cdot T_k} = 228,22 \ \frac{J}{kg \cdot K} \end{eqnarray*}$

Weiter geht es hiermit:

$\begin{eqnarray*} a = 3 \cdot p_K \cdot v_K^2 = 103,15 \ \frac{N \cdot m^6}{m^2 \cdot kg^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b = \frac{v_K}{3} = 1,06 \cdot 10^{-3} \ \frac{m^3}{kg} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T = \frac{(p + \frac{a}{v^2}) \cdot (v - b)}{Ri} = \frac{\left(10 \cdot 10^5 \ \frac{N}{m^2} + \frac{103,15 \ \frac{N \cdot m^6}{m^2 \cdot kg^2}}{\left(\frac{1}{20} \ \frac{m^3}{kg}\right)^2} \right) \cdot \left( \frac{1}{20} \ \frac{m^3}{kg} - 1,06 \cdot 10^{-3} \ \frac{m^3}{kg} \right)}{228,22 \ \frac{J}{kg \cdot K}} = 223,08 \ K \end{eqnarray*}$

Wink

Wink

21.05.2016, 16:20

Hausmann

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Von der physikfernen Fassung der van-der-Waalsschen Zustandsgleichung abgesehen bringt die Verwendung gerundeter Zwischenergebnisse mehr Ungenauigkeit in das Ergebnis als nötig und ich wette, daß nach Abschätzung der Genauigkeit von den Dezimalen nicht viel übrig bleibt.

21.05.2016, 17:40

Rivago

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Was genau ist daran "physikfern"? verwirrt

verwirrt

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