Unabhängige Zufallsvariable

10.05.2016, 17:33

barbara94

Unabhängige Zufallsvariable

Meine Frage:
Hallo zusammen,

Sie Lamda das lebesque Maß auf (0,1) und Xn(w) = sin(2*pi*w*n).
Beweise dass die Zufallsvariable (Xn) , n>=1 nicht unabhängig sind, aber es gilt Erwartungswert von Xn und Xm = 0 für m ungleich n.

kann mir jemand bei diese Übungsaufgabe helfen kann.

Meine Ideen:
ich habe leider keine Idee wie ich diese Aufgabe lösen kann.

danke schon im Voraus

lg

10.05.2016, 18:07

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Was soll

Zitat:

Original von barbara94
aber es gilt Erwartungswert von Xn und Xm = 0 für m ungleich n.

bedeuten? Meinst du da vielleicht das Produkt $\begin{align*} E\left[X_n\cdot X_m\right] = 0 \end{align*}$ ?

10.05.2016, 18:52

barbara94

Auf diesen Beitrag antworten »

ja genau

10.05.2016, 19:28

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Na versuch das doch einfach mal auszurechnen! Hilfreich ist dabei das aus Additionstheoremen ableitbare $\begin{align*} \sin(u)\sin(v) = \frac{1}{2} \left( \cos(u-v)-\cos(u+v) \right) \end{align*}$ :

$\begin{align*} E\left[X_n\cdot X_m\right] = \int\limits_0^1 \sin(2\pi\omega n)\sin(2\pi\omega m) ~ \dd\omega = \frac{1}{2} \int\limits_0^1 \left( \cos(2\pi\omega (n-m)) - \cos(2\pi\omega (n+m)) \right) ~ \dd\omega = \ldots \end{align*}$

Was die fehlende Unabhängigkeit betrifft: Es genügt z.B., für feste $\begin{align*} m\neq n \end{align*}$ ein $\begin{align*} A \end{align*}$ anzugeben mit $\begin{align*} P(X_n\in A,X_m\in A)\neq P(X_n\in A)\cdot P(X_m\in A) \end{align*}$ . Da muss man halt mal ein bisschen nachdenken, welche $\begin{align*} A \end{align*}$ da erfolgversprechend sein könnten. smile

Neue Frage »

Antworten »

Unabhängige Zufallsvariable

Verwandte Themen